19.二次函数的应用。
a组。三解答题。
1．（南京市溧水县2024年中考一模）（8分）某电子科技公司开发一种新产品．产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司前12个月累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象是某二次函数y=a(x-h)2+k图象的一部分，点a为抛物线的顶点，且点a，b，c的横坐标分别为4，10，12，点a，b的纵坐标分别为-16，20．
1）求前12个月该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；
2）分别求出前9个月公司累积获得的利润和10月份一个月内所获得的利润；
3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？
解：（1）根据题意可设：y=a(x-4)2 -161分。
当x =10时，y =20，所以a(10-4)2 -16=20，解得a=12分。
所求函数关系式为：y= (x-4)2 -163分。
2）当x =9时，y= (9-4)2 -16=9，所以前9个月公司累积获得的利润为9万元 ……4分。
又由题意可知，当x =10时，y=20，而20-9=11，所以10月份一个月内所获得的利润11万元5分。
3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s(万元)
则有：s= (n-4)2 –16-[ n-1-4)2 -16]=2n-96分。
因为s是关于n的一次函数，且2>0，s随着n的增大而增大，而n的最大值为12，所以当n=12时，s=157分。
所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元。 …8分。
2．（南京市江宁区2024年中考一模）（本题10分）某公司直销产品，第一批产品上市30天内全部售完．该公司对第一批产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图①中的线段表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图②中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系．
1）试写出第一批产品的市场日销售量与上市时间的函数关系式；
2）第一批产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？（说明理由）
答案：（1）可设正比列函数y=kt(k≠01分。
过点（30，60）
60=30k2分。
k=23分。
4分。2）当0≤t≤20时，w= 3t·2t=6t25分。
当0≤t≤20时，w随着t的增大而增大。
t =20时，最大值w=6×400=2400万元6分。
当20＜t≤30时，w=60·2t=120t7分。
当20＜t≤30时，w随着t的增大而增大。
当 t=30时，最大值w=3600万元8分。
3600＞24009分。
30天利润最大，最大日利润为3600万元10分。
3．（南京市高淳县2024年中考一模）(9分)某批发商以每件50元的**购进800件t恤．第一个月以单价80元销售，售出了300件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出300件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出15件，但最低单价应高于购进的**；第二个月结束后，批发商将对剩余的t恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．
1）填表（不需化简）：
2）试写出批发商销售这批t恤的获得的总利润为y（元），试求出y与x之间的函数。
关系式，并写出x的取值范围；
3）当第二个月的销售单价为多少元时，才使得销售这批t恤获得的利润最大？
答案：(9分)（1）80－x ，300＋15x ， 800－300－(300＋15x) …3分。
2）y＝30×300＋(30－x)( 300＋15x) －10(200－15x5分。
－15x2＋300x＋16000
x的取值范围为：0≤x＜30 ……6分。
3） y＝－15x2＋300x＋16000＝－15(x－10)2＋17500 ……7分。
当x＝10时，y取最大值． …8分。
即当第二个月的销售单价为70元时，才使得销售这批t恤获得的利润最大．……9分。
4、．（2011名校联合一模）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行**，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．
1)填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是吨；
2)该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？
考查内容：二次函数的应用。
答案：(1)60；……2分。
2)解法一：设每吨售价下降10x(0＜x＜16)元，由题意，可列方程(160－10x) (45＋7.5x) ＝9000．……2分。
化简得x2－10x＋24＝0．
解得x1＝4，x 2＝6．……6分。
所以当售价定为每吨200元或220元时，该经销店的月利润为9000元．
当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元．……8分。
解法二：当售价定为每吨x元时，由题意，可列方程 (x－100) (45＋×7.5) ＝9000．……2分。
化简得x2－420x＋44000＝0．
解得x1＝200，x 2＝220．……6分。
以下同解法一．
5、（2011朝阳区一模） 已知抛物线。
1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；
2）设抛物线与y轴交于点c，当抛物线与x轴有两个交点a、b（点a在点b的。
左侧）时，如果∠cab或∠cba这两角中有一个角是钝角，那么m的取值范围。
是。3）在（2）的条件下，p是抛物线的顶点，当△pao的面积与△abc的面积相等时，求该抛物线的解析式。
考查内容： 二次函数的应用。
答案：(1)证明1分。
2分。∴无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点。
(2)m＜-1且m≠-43分。
3)解：令，解得x1=m+1，x2=-34分。
可求得顶点。
当a(m+1,0)、b(-3,0)时，5分。
解得。6分。
当a(-3,0)、b(m+1,0)时，同理得7分。
解得。8分。
6、(2011海淀一模) 已知平面直角坐标系xoy中， 抛物线与直线的一个公共点为。
1）求此抛物线和直线的解析式；
2）若点p**段oa上，过点p作y轴的平行线交（1）中抛物线于点q，求线段pq长度的最大值；
3）记（1）中抛物线的顶点为m，点n在此抛物线上，若四边形aomn恰好是梯形，求点n的坐标及梯形aomn的面积。
考查内容：
答案：（1）由题意，可得及，解得，所以，抛物线的解析式为，直线的解析式为2分。
（2）设点p的坐标为，可得点q的坐标为，则。
所以，当时，的长度取得最大值为44分。
3）易知点m的坐标为（1，-1）.过点m作直线oa的平行线交抛物线于点n，如图所示，四边形aomn为梯形。直线mn可看成是由直线oa向下平移b个单位得到，所以直线mn的方程为。
因为点m在直线上，解得b =3,即直线mn的方程为，将其代入，可得。
即 解得 ，
易得 ， 所以，直线mn与抛物线的交点n的坐标为（3,35分。
如图，分别过点m、n作y轴的平行线交直线oa于点g、h，显然四边形mnhg是平行四边形。可得点g（1,2），h（3,6）.
所以，梯形aomn的面积7分。
7、(2011怀柔一模) (本题满分7分)
如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点a（-1， 0）和点c（0，-5）．
1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点b的坐标。
2)在上面所求二次函数的对称轴上存在一点p（2,-2），连结op,找出x轴上所有点m的坐标，使得△opm是等腰三角形．
解：考查内容：
答案：解：（1）根据题意，得…（2分）
解得3分）二次函数的表达式为．
b(5,04分）
2）令y=0，得二次函数的图象与x轴。
的另一个交点坐标c（5, 05分）
由于p(2,-2) ,符合条件的坐标有共有4个，分别是(4,0) (2,0) (2,0) (2,07分）
8、(2011怀柔一模) （本题满分6分）
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