因数和倍数的性质教师讲稿。
性质1如果甲数是乙数的因数，乙数是丙数的因数，那么甲数一定也是丙数的因数。例如，8是16的因数，16是48的因整，那么8一定是48的因数。（类似包含）
性质2如果一个自然数是两个数的因数，那么这个自然数也一定是这两个数的和与差的因数。例如，3是21与15的因数，那么3也是21＋15及21-15和与差的因数。
性质3 如果一个数能分别是两个互质数的倍数，那么这个数一定也是这两个互质数的乘积的倍数。例如，126是9的倍数，又是7的倍数，且9与7互质，那么126就是9×7＝63的倍数。
（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就是2的倍数。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就就是5的倍数。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
（4）一个数的末两位数如果是4（或25）的倍数，那么这个数就是4（或25）的倍数。
（5）一个数的末三位数如果是8（或125）的倍数，那么这个数就是8（或125）的倍数。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果是9的倍数，那么这个数就是9的倍数。
其中（1）（2）（3）是五年级刚刚学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
因为100是4（或25）的倍数，所以由性质1知，整百的数都是4（或25）的倍数。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由性质2知，只要这个数的后两位数是4（或25）的倍数，这个数就是4（或25）的倍数。这就证明了（4）。
例1 在下面的数中，哪些是4的倍数？哪些是8的倍数？哪些是9的倍数？
解：能被4整除的数有7756，3728，8064；
能被8整除的数有3728，8064；
能被9整除的数有234，8865，8064。
例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别是9，8，4的倍数？
解：如果56□2能被9整除，那么。
应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；
如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；
如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。
同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。
例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时是2，5，3倍数的数，并将这些数从小到大进行排列。
解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。
例4 五位数a329b是72的倍数，问：a与b各代表什么数字？
分析与解：已知能被72整除。因为72＝8×9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定b＝6。再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为。
a＋3＋2＋9＋b＝a＋3－f－2＋9＋6＝a＋20，因为l≤a≤9，所以21≤a＋20≤29。在这个范围内只有27能被9整除，所以a＝7。
解答例4的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论b和a所代表的数字。在解题顺序上，应先确定b所代表的数字，因为b代表的数字不受a的取值大小的影响，一旦b代表的数字确定下来，a所代表的数字就容易确定了。
例5 六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？
分析与解：因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由六位数能被2整除，推知a可取0，2，4，6，8这五个值。再由六位数能被3整除，推知。
3＋a＋b＋a＋b＋a＝3＋3a＋2b
能被3整除，故2b能被3整除。b可取0，3，6，9这4个值。由于b可以取4个值，a可以取5个值，题目没有要求a≠b，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）。
例6 要使六位数3ababa是36的倍数，而且所得的商最小，问a，b，c各代表什么数字？
分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数能被4整除，就要能被4整除，因此c可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。因此首先是a尽量。
因数和倍数的性质。
性质1如果甲数是乙数的因数，乙数是丙数的因数，那么甲数一定也是丙数的因数。例如，8是16的因数，16是48的因整，那么8一定是48的因数。（类似包含）
性质2如果一个自然数是两个数的因数，那么这个自然数也一定是这两个数的和与差的因数。例如，3是21与。
15的因数，那么3也是21＋15及21-15和与差的因数。
性质3 如果一个数能分别是两个互质数的倍数，那么这个数一定也是这两个互质数的乘积的倍数。例如，126是9的倍数，又是7的倍数，且9与7互质，那么126就是9×7＝63的倍数。
1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就是2的倍数。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就就是5的倍数。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
（4）一个数的末两位数如果是4（或25）的倍数，那么这个数就是4（或25）的倍数。
（5）一个数的末三位数如果是8（或125）的倍数，那么这个数就是8（或125）的倍数。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果是9的倍数，那么这个数就是9的倍数。
其中（1）（2）（3）是五年级刚刚学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
因为100是4（或25）的倍数，所以由性质1知，整百的数都是4（或25）的倍数。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由性质2知，只要这个数的后两位数是4（或25）的倍数，这个数就是4（或25）的倍数。这就证明了（4）。
例1 在下面的数中，哪些是4的倍数？哪些是8的倍数？哪些是9的倍数？
第七讲。例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数字分别等于几时，这个四位数分别是9，8，4的倍数？
例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时是2，5，3倍数的数，并将这些数从小到大进行排列。
例4 五位数a329b是72的倍数，问：a与b各代表什么数字？
例5 六位数3ababa是6的倍数，这样的六位数有多少个？
例6 要使六位数15abc6是36的倍数，而且所得的商最小，问a，b，c各代表什么数字？
1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？
2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？
3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？
4．五位数4a97a能被12整除，求这个五位数。
5．有一个能被24整除的四位数□23□，这个四位数最大是几？最小是几？
6．从0，2，3，6，7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数？
弃九法。例1 求多位数***除以9的余数。
例2 将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？
例3 检验下面的加法算式是否正确：
例4 检验下面的减法算式是否正确：
1．求下列各数除以9的余数：
2．求下列各式除以9的余数：
第5讲弃九法讲稿。
从第4讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。
例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为。
3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。
但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。有没有更简便的方法呢？
因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。
这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。
一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。
例1 求多位数***除以9的余数。
分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。
只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。所以这个多位数除以9余1。
例2 将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？
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