2011-2012学年度高一年级第一学期期末考试数学科试卷。
答案解析。命题学校：大连市第三十六中学。
第一卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.答案：c。由可知，集合a中的元素x满足，那么中的元素x满足，即。
2.答案：b。
由条件①，的图像是由的图像向右平移一个单位得到的。因为函数的图像关于点（1,0）对称，所以一定有的图像关于点（0,0）对称，即是奇函数。由条件②，因为，所以的图像关于点（）对称，并且我们可以令，那么，代入，得，因为是奇函数，所以，而，因为是奇函数，所以，所以，所以的周期是3。
所以，代入③中的解析式，可求得。
3.答案：d。如图所示，三棱锥a-bcd中，|cd|=x，|ab|=
bc|=|bd|=|ac|=|ad|=3。因为要求三棱锥的体积的最大值，所以我们要用含x的式子来表示出体积，用函数的性质来。
求解最值。如果直接过a做底面的高线，那么求解将比较。
困难。不妨取ab中点e，连接ce、de，过e在平面ecd
内做ef⊥cd于f，则三棱锥的体积被划分为两个小的三棱。
锥a-ecd和b-ecd，并且因为△abc、△abd均为正三角。
形，所以一定有ab⊥ce，ab⊥de，则ab⊥平面ecd。
那么如果以△ecd为底面，则两个小三棱锥的高为。
。现在我们需要求△ecd的面积。
因为△abc、△abd均为正三角形，且ab⊥ce，ab⊥de，那么|ce|=|de|=(正三角形的高线长等于边长的)，所以ef⊥cd。|cd|=x，则|cf|=，在rt△ecf中，根据勾股定理，可得|ef|=,则，则，则 ，令，利用二次函数的性质，可得当且仅当时体积最大，为。
接下来，我们需要找到外接球的球心的位置。过a作ag⊥
平面bcd于g，则g为a在平面bcd上的投影。因为|ab|
|ac|=|ad|，所以根据rt△abg≌rt△agc≌rt△agd，有。
bg|=|cg|=|dg|成立，则g为△bcd的外心，即外接圆圆心。
又因为ag垂直于平面bcd所在的小圆，所以，外接球球心。
一定在ag上。设这一点为o，连接bo。设外接球半径为r，高线|ag|=h，则|bo|=r，|og|=h-r。
现在我们要求|bg|的长度，即△bcd的外接圆半径，运用勾股定理来求解r。
如果学过正弦定理，这里可以直接使用正弦定理求解外接圆的。
半径，但这里我们用比较复杂的方法求解。
如图，连接bg、cg，延长bg与cd交于点i，过g点作gh
bc于h，因为g为外心，并且△bcd为等腰三角形，所以。
bi⊥cd，设bi=h’，|cg|=|bg|=r，|gi=a，|因为，即。
所以在rt△bci中，根据勾股定理，。
因为g是外心，所以|cg|=|bg|，列出方程。
解得。在rt△gci中，根据勾股定理，，即|bg|=。
下面我们需要求出三棱锥a-bcd的高线h的长度。。根据体积公式，，解得。
此时我们已经获得了所有需要的条件。在rt△bgo中，有，则可列出方程，解得。所以外接球表面积。
注】：本题难度极大，所以不要求完全领会做题的方法，能够理解就已经很好了。
4.答案：b。根据所给定义，设直线上任意一点为p（x,y），可得。
画出直线的图像，进行分类讨论：
.x≤0，则＜0。所以，当且仅当x=0时有最小值，为。
.0＜x≤，则≤0。所以，当且仅当x=时取最小值，为。
.x＞，则＞0。所以，无最小值。
综上，最小值为。
5.答案：c。集合a中元素满足，则。集合b中元素满足|x-1|>1，即x-1>1或x-1<-1，则。所以。
6.答案：c。分两种情况讨论：
.当a与b不平行时，则通过平移，一定存在一条直线b’，使得。
因为c⊥b，且b∥b’，所以c⊥b’，所以c⊥平面β。
同理，d⊥平面β，所以c∥d。
当a∥b时，c、d可能平行，也可能不平行。
综上，a和b、c和d至少有一组直线相互平行。
7.答案：c。依题意得，由点a、b、c、d构成的三棱锥可补形成一个长方体，该长方体的外接球即是题中所提及的球，其体对角线为外接球的直径，所以有。
因为，所以，所以。所以。
8.答案：b。①，因此有，是“有界函数”。，的值可以无限的大，不是“有界函数”。，定义域为（-1,1），所以，所以，的值可以无限的大，不是“有界函数”。
综上，只有①是“有界函数”。
9.答案：b。因为函数在r上为单调减函数，所以，解得。
10.答案：b。因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以和互为反函数。所以在函数中，有，，所以。
11.答案：a。由可知，的对称轴是直线x=2。画出草图，可得＜＜。
12.答案：c。画出函数的草图，根据图像可知，。
11题图12题图
第ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。
13.答案：12。
14.答案：。，根据对勾函数的图像和单调性，可知：①a<0，a=-2时m取最大值-4；②a>0，a=2时m取最小值4。
补充】对勾函数的性质。
1 一般形式：
2 单调性：在单调递增，在单调递减。
15.答案：（1,1）。因为函数图象恒过定点，所以反函数恒过（1,0），即恒成立。所以有恒成立，所以的图象必过定点（1,1）。
16.答案：a>-3；。
第一问：本题为复合函数单调性的问题。我们可以令，。
函数在单调递增，所以使f(x)=lg(x2+ax－a－1)在区间［2,+∞上单调递增，则在区间［2,+∞上单调递增，且当时恒成立。
令，则。下面进行分类讨论：
1. 当，时，在区间［2,+∞上单调递增，时恒成立。
2. 当，时，在区间［2,+∞上单调递增，时恒成立。
3. 当，时， 在内存在零点，不合题意。
综上，a的取值范围为。
第二问：本问涉及数列求和，高一上半学期将不会涉及数列知识，所以本问可以删掉。这里给出解法，可以试着理解一下。
设=1+5+…+2n-1）。通过观察，我们可以发现，对于的每一项，都是一个等差数列乘以一个等比数列的形式。所以求可以利用错位相减法。
-②得：根据等比数列求和公式（且q≠1），可得。
所以。所以。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）中，自变量x满足，，所以集合m=。
中，自变量x满足，，所以集合n=
18.解：本题需要分类讨论：
集合a=，则，。
集合a≠，则或，解得。
综上，a的取值范围为。
19.解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，租出的车数为：。
2）设月收益为，每辆车的月租金为x。
根据题意得：
由二次函数的性质，当x=4050时取最大值，为307050。
所以当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元。
20.（1）中自变量x 满足，，所以函数的定义域为。
2）令，。本问需要分类讨论：
0②a>1，在大于0。所以，解得：x>1。
综上，当01时，x>1。
21.解：（1）=
22.解：（1）。因为x≠－1，所以。
2）令，则，。所以。
3）在(2,＋∞上任取，。
所以在(2,＋∞上为减函数。
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