学大教育系列教辅书之---学有方课程。
预初数学·秋季课程
目录。第五章： 有理数
第一节：有理数授课时间：2023年2月24日。
知识点一】正数与负数。
1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有“+”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。而负数前面的“－”号不能省略。
3.零：既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
归纳：正数与负数概念：大于0的叫正数，小于0的叫负数，0既不是正数也不是负数。
非负数：正实数与零的统称。（表示为：x≥0）
几个特殊的数：最小的自然数是0;绝对值最小的数是0；同时0也最小的非负整数是0；最小的正整数是1；最大的负整数是-1。
注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如－a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，－a是0，当a是负数时，－a是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。
知识点二】有理数及其分类：
有理数：整数与分数统称为有理数。整数包括三类：正整数、零、负整数。分数包括两类：正分数和负分数。
按整数、分数的关系分类按正数、负数、零的关系分类：
注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，不是有理数，除和与有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。
知识点三】数轴：
1．数轴的概念
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，所有的有理数在数轴上都能找到表示它的点。
数轴是一条直线，可以向两段无限延伸。
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。
原点的位置、单位长度的大小都可以根据实际情况而确定，一般都取向右的方向为正方向。单位长度一旦确定，不能再改变。
注意：数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。故而可以用数轴来比较数的大小。
2．数轴的画法。
一画：画直线，一般画水平直线。
二定：确定原点，在直线的适当位置选取一点作为原点，位置的选取可根据实际问题的需要而确定。
三选：选取正方向，一般取向右的方向为正方向，并用箭头表示。
四统一：统一单位长度。取适当的长度作为一个单位长度，然后在直线上均匀地画出刻度线。
五标数：确定要表示的数的对应点的位置，并用实心圆点表示。
知识点四】相反数。
相反数：定义及表示法：只有符号不同的数互为相反数。比如：2和-2，6和-6（0的相反数仍然是0）。
求相反数方法：直接在数字前加负号；如果是式子，先把整个式子括起来，再在括号前加负号；如果数字或式子不是最简形式，要先化简。
性质： 若a,b互为相反数，则a+b=0,
注意：在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等。
注：0点相反数是0.
知识点五】绝对值。
1．绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣,其中a可以是正数、负数和0；
2．绝对值的非负性；
一个正数的绝对值是它本身； 如果a＞0，那么=a；
一个负数的绝对值是它的相反数； 如果a＜0，那么=-a；
0的绝对值是0如果a=0，那么=0
由绝对值的意义，我们可以知道：
1. 一个正数的绝对值是它本身；
2. 0的绝对值是0；
3. 一个负数的绝对值是它的相反数。
3．利用绝对值比较有理数的大小（特别是负数的大小比较）
正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
4. 几何定义：一个数的绝对值，等于在数轴上表示这个数的点到原点的距离。
数轴上表示数a、b的两点间的距离｜a-b｜
知识点六】有理数比较大小。
两个负数，绝对值大的反而小。
在数轴上表示的两个有理数，左边的数总比右边的数小。正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。
例1：把下面各数填在相应的集合内：
（1）负分数集合。
（2）整数集合。
（3）非负数集合。
（4）非正整数集合。
（5）有理数集合。
例2：填空。
1） 是整数而不是整数的有理数是。
2） 是整数而不是负数的有理数是。
3） 既不是分数，也不是零的有理数是。
4） 既不是正数，也不是负数的有理数是。
例3：若整数ⅹ满足－16.2＜x＜26.5，则这样的整数有几个？正整数有几个？负整数有几个？非正整数有几个？非负整数有几个？
例4：在数轴上，已知点a表示的数为-2，点b也是数轴上的点，且ab的长是5个单位长度，则点b表示的数是多少？
例5：某人从a地向东走了12米，然后折回向西走了4米，转头又折回向东走了8米，请你用数轴的有关知识来判断此人在a地的哪个方向？距离a地有多远？
例6：已知a＞b＞0，比较-a与-b的大小。
例7：若+||0，求是什么数？
例8：a,b两数在数轴上的位置如图，则下列说法不正确的是（ ）
b 0 aa、 a+b＜0b、 ab＜0c、＜0d、a-b＜0
例9：如果a、b两有理数满足a>0，b<0， <则下面关系式中正确的是( )
a、－a例10：下列说法中，正确的是（ ）
a、若│a∣＞│b∣,则a＞bb、若│a∣= b∣，则a=b
c、若，则a＞bd、若0＜a＜1，则a＜。
一、选择题：
1. 在有理数中，有（ ）
．绝对值最大的数绝对值最小的数。
．最大的数最小的数。
2. 计算的结果为( )
abcd．
3. 下列说法错误的是( )
a.绝对值等于本身的数只有1b．平方后等于本身的数只有
c．立方后等于本身的数是-1 ，0， 1d．倒数等于本身的数是和1
4. 下列结论正确的是（ ）
a．数轴上表示６的点与表示４的点相距10 b．数轴上表示+6的点与表示－4的点相距10
c．数轴上表示－4的点与表示4的点相距10 d．数轴上表示－6的点与表示－4的点相距10
5. 下列说法中不正确的是( )
a．0既不是正数，也不是负数b．0不是自然数。
c．0的相反数是零d．0的绝对值是0
6. 下列计算中，正确的有( )
a．0个b．1个c．2个d．3个。
二、填空题。
7. 平方得25的数是___立方得的数是___
8. 若，那么=__0．
9. 某冷库的温度是℃，下降了5℃，又下降了4℃，则两次变化后的冷库的温度是___
10. 已知，则．
11.的倒数是___的倒数是___的倒数是___
12. 如果互为倒数，那么=__
14. 用算式表示：温度由℃上升℃，达到的温度是___
15. 若三个有理数的乘积为负数，在这三个有理数中，有___个负数．
16.若互为相反数，则=__
三、运算题。
17.计算：
18.确定下列各式和的符号。
19.计算下列各题。
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