勾股定理复习小结。
一、 知识结构。
勾股数。满足=的三个正整数，称为勾股数。
如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 ，（5）7，24，25 （6）9, 40, 41
典型习题。1. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )
a）13b）8c）25d）64
2. 三角形的三边长为，则这个三角形是( )
a） 等边三角形b） 钝角三角形
c） 直角三角形d） 锐角三角形。
3. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米。
4. 如图，△abc中，∠c=90°，ab垂直平分线交bc于d若bc=8，ad=5，则ac等于。
5. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形a，b，c，d的面积之和为cm2.
6．如图，已知矩形abcd沿着直线bd折叠，使c点落在c’处，交ad于e点，ad=8，ab=4，则de的长为（）
a 3 b 4 c 5 d 6
7.如图，圆柱体底面周长为20cm，高ab为4cm，bc是底面直径。一只蚂蚁从a点出发，沿着圆柱体侧面爬行到c点，则爬行的最短路程为（）
8.如图，在矩形abcd中，ab=5，在cd边上适当选定一点e，沿ae把△ade折叠，使d点恰好落在边bc上一点f处，且△abf的面积是30，则adce
9. 如图，在矩形abcd中，ab=8，bc=4,将矩形沿ac折叠，点d落在d’处，则重叠部分的面积。
10.如图所示的一块地，∠adc=90°，ad=12m，cd=9m，ab=39m，bc=36m，求这块地的面积。
11.（12分）如图，某沿海开放城市a接到台风警报，在该市正南方向100km的b处有一台风中心，沿bc方向以20km/h的速度向d移动，已知城市a到bc的距离ad=60km，那么台风中心经过多长时间从b点移到d点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在d点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
四边形总习小结。
一、平行四边形。
1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、性质：1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。
3、判定：1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
中位线：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
二、矩形。1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线平分且相等。
3、判定：1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、菱形。1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、性质：1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
s菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）
3、判定：1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形。
s菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）
四、正方形。
1、定义：有一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形。
2、性质：1）正方形的四条边都相等；（2）正方形的四个角都是直角。
3）正方形的两条对角线垂直平分且相等（每一条对角线与边的夹角是45°）
3、判定：1）邻边相等的矩形是正方形。（2）有一个角是直角的菱形是正方形。
3）对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。
五、梯形。1.定义：
梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形：有一个角是直角的梯形。
等腰梯形：两腰相等的梯形。
2、性质：（等腰梯形）
1）等腰梯形的两条对角线相等。
2）等腰梯形同一底边上的两个角相等；
3、判定：（等腰梯形）：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
4、解梯形问题常用的辅助线：如图。
一）精心选一选
1.下列命题正确的是（ ）
一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形。
对角线相等的四边形一定是矩形。
两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形。
两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形。
2. 已知平行四边形abcd的周长32, 5ab=3bc,则ac的取值范围为( )
a. 63. 如图，等腰△abc中，d是bc边上的一点，de∥ac，df∥ab，ab=5
那么四边形afde的周长是。
a）5 （b）10c）15d）20
4.如图，将边长为8cm的正方形纸片abcd折叠，使点d落在bc边中点e处，点a落在点f处，折痕为mn，则线段cn的长是（ ）
（a）3cm （b）4cm （c）5cm （d）6cm
5. 如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点e、f，，则图中阴影部分的面积为 ．
6、如图，矩形的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形，再顺次连结四边形四边中点得到四边形，依此类推，求四边形的面积是 。
7.如图，在正方形abcd中，p为对角线bd上一点，pe⊥bc，垂足为e， pf⊥cd，垂足为f，求证：ef＝ap
8. 如图，四边形abcd的对角线ac、bd交于点p，过点p作直线交ad于点e,交bc于点f。若pe=pf,且ap+ae=cp+cf
1）求证：pa=pc;
2）若ad=12,ab=15,∠dab=60°,求四边形abcd的面积。
9如图6，e、f分别是 abcd的ad、bc边上的点，且ae = cf.
1）求证：△abe≌△cdf；
2）若m、n分别是be、df的中点，连结mf、en，试判断四边形mfne是怎样的四边形，并证明你的结论。
10.如图10，已知在梯形abcd中，ad∥bc，ab = dc，对角线ac和bd相交于点o，e是bc边上一个动点（点e不与b、c两点重合），ef∥bd交ac于点f，eg∥ac交bd于点c.
1）求证：四边形efog的周长等于2ob；
2）请你将上述题目的条件“梯形abcd中，ad∥bc，ab = dc”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形efog的周长等于2ob”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明。
11.如图在直角梯形abcd中， ad∥bc, ∠b=90°ad=24cm,ab=8cm,bc=26cm,动点p从a开始沿ad边向d以1cm/s的速度运动，动点q从c开始沿cb向b以3cm/s的速度运动，p,q分别从点a,c同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t,t分别为何值时，四边形pqcd为平行四边形，等腰梯形？
12.已知：如图，在△abc中，ab=ac，ad⊥bc，垂足为点d，an是△abc外角∠cam的平分线，ce⊥an，垂足为点e，1）求证：四边形adce为矩形；
2）当△abc满足什么条件时，四边形。
adce是一个正方形？并给出证明．
例8有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释。
解析：本题是一道方案设计题，现提供三种方案供参考：
方案一：如图14（1），连结梯形上、下底的中点e、f，则。
s四边形abfe = s四边形efcd =.
方案二：如图14（2），分别量出梯形的上、下底a、b的长，在下底bc上截取be =（a＋b），连结ae. 则。
s△abe = s四边形aecd =.
方案三：如图14（3），连结ac，取ac的中点e，连结be、ed，则图中阴影部分的面积等于梯形abcd的一半。
分析此方案可知，∵ae = ec，∴s△aeb= s△ebc，s△aed= s△ecd.
s△aeb＋s△aed= s△ebc＋s△ecd = s四边形abcd.
二次根式复习小结。
知识点总结。
1.定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．
2. 二次根式的性质：
3. 二次根式的运算。
1）二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
2）二次根式的乘法：
3）二次根式的除法：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
（4）二次根式的混合运算：
先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．
八年级下数学各章知识要点
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