1、用提公因式法解题。
在多项式恒等变形中的应用。
例：解方程组，求代数式的值。
分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果。
解： 把和分别为3和带入上式，求得代数式的值是。
在代数证明题中的应用。
例：证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
题型展示：例1. 计算：
说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中重复出现，又有的特点。
模拟。1. 计算：的结果是（ ）
abcd.
2. 证明：能被45整除。
2、运用公式法。
知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式。
完全平方公式
分类解析】1. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用。
例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。
分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。
解： 2. 在代数证明题中应用。
例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。
题型展示：1. 已知：，求的值。
2. 若是三角形的三条边，求证：
3. 在几何学中的应用。
例。 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足，求长方形的面积。
分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。解： 或。
4、在代数证明题中的应用。
例。 证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。
分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。
证明：∵是7的倍数，设（m是整数）则。又∵
∵x，m是整数，∴也是整数。
所以，是49的倍数。
5. 在证明题中的应用。
例：求证：多项式的值一定是非负数。
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明： 中考点拨：
例1.在中，三边a,b,c满足。
求证： 证明：
3、与分式有关的运算。
计算：说明：分式运算时，若分子或分母是。
多项式，应先因式分解。
例2、已知：，则。
4、公式变形与字母系数方程。
分类解析】求含有字母系数的一元一次方程的解。
例1. 解关于x的方程。
分析：将x以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。
解：去分母得：
移项，得。题型展示：
例2. 解关于x的方程：
解：去括号：
说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。
5、代数综合。
在代数求值中的应用。
例4. 已知与互为相反数，求代数式的值。
分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a、b的值，又因为，，利用非负数及相反数的性质可求出a、b的值。
解：由已知得，解得。
原式。6、三角形及其有关概念。
知识精读】补充性质：在中，d是bc边上任意一点，e是ad上任意一点，则。
三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。
因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。
分类解析】例1. 锐角三角形abc中，∠c＝2∠b，则∠b的范围是（ ）
a. b.
c. d.
例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ）
a. 锐角三角形 b. 直角三角形 c. 钝角三角形 d. 无法确定。
例4. 已知：三角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的与之间。
证明：如图，设的三边为a、b、c，其中，，
因此，c是最小边，
因此，，即，故最小边在周长的与之间。
中考点拨：例1. 选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（ ）
a. 50 b. 100 c. 180 d. 200
分析：由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角的问题。
解： 所以选择c
例2. 选择题：已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x的范围是（ ）
a. 大于2 b. 小于12 c. 大于2小于12 d. 不能确定。
全等三角形及其应用。
知识精读】通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一。
个经过下列各种运动而形成的。
翻折 如图（1），boc≌eod，boc可以看成是由eod沿直线ao翻折180得到的；
旋转 如图（2），cod≌boa，cod可以看成是由boa绕着点o旋转180得到的；
平移 如图（3），def≌acb，def可以看成是由acb沿cb方向平行移动而得到的。
6. 注意问题：
1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；
2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即aaa；b :有两边和其中一角对应相等，即ssa。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移**形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移**形或移**形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
分类解析】全等三角形知识的应用。
1） 证明线段（或角）相等。
例1：如图，已知ad=ae,ab=ac.求证：bf=fc
分析：由已知条件可证出δacd≌δabe，而bf和fc分别位于δdbf和δefc中，因此先证明δacd≌δabe，再证明δdbf≌δecf，既可以得到bf=fc.
证明：在δacd和δabe中，∴ acd≌δabe (sas)
∠b=∠c（全等三角形对应角相等）
又 ∵ ad=ae,ab=ac.， ab－ad=ac－ae， 即 bd=ce
2）证明线段平行。
例2：已知：如图，de⊥ac，bf⊥ac，垂足分别为e、f，de=bf，af=ce.求证：ab∥cd
分析：要证ab∥cd，需证∠c＝∠a，而要证∠c＝∠a，又需证δabf≌δcde.由已知bf⊥ac，de⊥ac，知∠dec＝∠bfa=90°，且已知de=bf，af=ce.
显然证明δabf≌δcde条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠c＝∠a,进一步证明ab∥cd.
证明：∵ de⊥ac，bf⊥ac （已知）
∠dec＝∠bfa=90° （垂直的定义）
在δabf与δcde中，3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等。
例3：如图，在△ abc中，ab=ac，延长ab到d，使bd=ab，取ab的中点e，连接cd和ce. 求证：cd=2ce
分析：ⅰ)折半法：取cd中点f，连接bf，再证δceb≌δcfb.这里注意利用bf是δacd中位线这个条件。
证明：取cd中点f，连接bf
bf=ac,且bf∥ac
三角形中位线定理）
∠acb＝∠2
两直线平行内错角相等)
又∵ ab=ac
∠acb＝∠3
等边对等角）
ⅱ）加倍法。
证明：延长ce到f，使ef=ce，连bf.
在δaec与δbef中，δaec≌δbef (sas)， ac=bf, ∠4＝∠3
全等三角形对应边、对应角相等)
bf∥ac
内错角相等两直线平行)
∠acb+∠cbf=180o
abc+∠cbd=180o,4)证明线段相互垂直。
例4：已知：如图，a、d、b三点在同一条直线上，δadc、δbdo为等腰三角形，ao、bc的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。
分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：ao=bc，ao⊥bc.
八年级数学下册重难点
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