三年级数学奥数讲座一笔画（一）
如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重。
复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。
同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？
关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接a，b两个岛以及河的两岸c，d(如下图)。
所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？
当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？
经过认真研究，欧拉终于在2023年圆满地解决了七桥问题，并发现了。
一笔画原理。欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把a，b两岛以及陆地c，d用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。
我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点。如下图中，a，b，c，e，f，g，i是偶点，d，h，j，o是奇点。
欧拉的一笔画原理是：
1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；
3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；
4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。
利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中a，b，c，d都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。
顺便补充两点：
1)一个图形的奇点数目一定是偶数。
因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。
2)有k个奇点的图形要k÷2笔才能画成。
例如：下页左上图中的房子共有b，e，f，g，i，j六个奇点，所以不是一笔画。如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。
将线段gf和bj去掉，剩下i和e两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段gf和bj，共需三笔，即( 6÷2)笔画成。
一个k(k＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道k笔画有2k个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。如左下图中的b，c两个奇点在右下图中都变成了偶点。
所以只要在k笔画的2k个奇点间添加(k-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。
到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画。
仅此学习交流之用。谢谢。
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