本教程共30讲。
第17讲数阵图(二)
上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。
例1 将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
分析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为。
在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。
如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有。
2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下图的填法。
如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法。
例2 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
分析与解：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于。
1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。
如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。容易发现，所填数不是1～6，不合题意。
同理，三个重叠数也不能是3，4，5。
经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。
例3 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
分析与解：与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于。
[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3
=(21+重叠数之和)÷3
=7+重叠数之和÷3。
因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数。考虑到重叠数是1～6中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。
与例2的方法类似，可得下图的四种填法：
每边三数之和=9 每边三数之和=10 每边三数之和=11 每边三数之和=12
例4将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
分析与解：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次。所以四个重叠数之和等于。
而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：
4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。
又由于18-9-8=1，1不是已知的八个数之一，所以，8和9只能填对角处。由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：
“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。
以上例题都是封闭型数阵图。
一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。
与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以。
已知各数之和+重叠数之和。
=每边各数之和×边数。
由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。
前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。
例5把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
分析与解：这道题的“重叠数”很多。有重叠2次的(中心数，记为a)；有重叠1次的(三个数，分别记为b，c，d)。根据题意应有。
(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3，即 a+a+b+c+d=11。
因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。
练习171.把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
2.把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。
3.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。
4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。
6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。
答案与提示练习17
每个圆周的四数之和=12每个圆周的四数之和=13
每个圆周的四数之和=14
每个圆周的四数之和=15每个圆周的四数之和=16
3.提示：四个顶点数之和为15×4－(1＋2＋…＋8)=24，四个顶点数有3，6，7，8和4，5，7，8两种可能。经试验只有左下图一个解。
4.提示：每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于。
填法见右上图。(填法不唯一)
5.提示：顶上的数重叠2次，其它数都重叠1次。
(1＋2＋…＋7)×2＋顶上数=每条线上的和×5，56＋顶上数=每条线上的和×5。
由上式等号左端是5的倍数，推知“顶上数”=4。所以每条线上的三个数之和为。
经试验填法如上图。(填法不唯一)
6.与例5类似(见上图)。
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