2014—2015学年度上学期期末考试高三年级。
数学科（理科）参***。
一．选择题。
二．填空题。
三．解答题。
17、本小题满分12分。
解（ⅰ）函数的最大值为。
当且仅当即，即时取到。
所以函数最大值为2时的取值集合为。 …6分）
ⅱ）由题意，，化简得， ∴
在中，根据余弦定理，得。
由，知，即。∴当时，取等号。
又由b+c>a得a<2.所以a的取值范围是[1,212分）
18、本小题满分12分。
解：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为89分；乙班平均分为89分。
甲班的方差》乙班的方差。
所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定。……4分）
（本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分）
（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记a;
事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记b
则8分）3）x的取值为0,1,2,3，分布列为。
期望12分）
19、本小题满分12分。
证明：（1）底面平行四边形abcd中，连接ac,bd，设。
因为ab=ad,，所以acbd
又dd1平面abcd，所以dd1ac，所以ac平面bdd1，又因为四棱台abcd-a1b1c1d1中，侧棱dd1与bb1延长后交于一点，所以平面bdd1，所以acbb1。即bb1ac4分）
2）因为四边形abcd为平行四边形， 所以。
由棱台定义及ab=ad=2a1b1知d1b1//do，且d1b1=do，所以边四形d1b1od为平行四边形， 所以dd1//b1o 。
因为dd1平面abcd，所以b1o平面abcd，即b1oao, b1obo
由（1）知acbd于点o,即aobo
以db,ac,ob1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图：则。
a(0，-,0)，b（1，0,0），d(-1，0，0)，设b1（0,0，h），则d1（-1，0，h）；设a1(a,b,h) (h>0)
则=(1，-,0)， a+1,b,0）， 因为=，所以a=-,b=. 即a1(-，h) 。
所以， 设平面a1ab的一个法向量为，则，即
取y=,则x=-3,z=
即，又已知平面abc的一个法向量。
由二面角a1-ab-c大小为60，可得。
解得：h= 即棱台的高为。
因为b1oao, b1obo，aobo
所以三棱锥b1-abo外接球的直径就是以oa,ob,ob1为三条棱的长方体的体对角线，长为，所以外接球半径r=
所以外接球体积为。……12分）
20、本小题满分12分。
解：（1）椭圆方程2分）
（2）当直线l与x轴垂直时，b1(1，),b2(1，-)又f1(-1,0),此时，所以以b1b2为直径的圆不经过f1。不满足条件。
当直线l不与x轴垂直时，设l：y=k(x-1)
由。因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点。
设b1(x1,y1)，b2（x2,y2）,则。
因为以b1b2为直径的圆经过f1，所以，又f1(-1，0)
所以（-1-x1）(-1-x2)+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2=0
所以解得。由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0
因为直线l与抛物线有两个交点，所以。
设a1(x3,y3) ，a2(x4,y4)，则。
所以8分)（3）存在定圆，使得与恒相切，其方程为：(x+1)2+y2=16,圆心是左焦点f1.
由椭圆的定义可知：
所以两圆相内切12分）
21、本小题满分12分。
解：（1） ,x [1，+）
显然a0时， 0，函数f(x)在[1，+）上是单调增函数，符合要求。
当a<0时，令g(x)=ax2+x-1, 当x+时g(x) x-时，所以函数f(x)在[1，+）上只能是单调减函数。
所以0或， 解得。
综上：满足条件的a的取值范围是。……3分）
2）不存在满足条件的正实数a。因为。
由 （1）知，a>0时f(x)在[1，+）上是单调增函数，所以f(x)在[1，2]上是单调增函数。
所以对于任意，f(1) f(x1 ) f(2)，即f（x1）;
当时，所以g(x)在[1,2]上是单调减函数。
所以当时，
若对于任意，总存在，使得f(x1)=g(x2)成立，则，此时a无解。……7分）
（3）因为，所以x1>0时，0 （当且仅当xn=1时取等号）
若xn=1，则x1=1，这与已知矛盾，所以。
两个等号不能同时成立）
所以。又所以xn+1>xn ,所以 又 所以
12分）另解：因为，所以x1>0时，0当且仅当xn=1时取等号）
若xn=1，则x1=1，这与已知矛盾，所以。
又所以xn+1>xn ,所以
设xn=t，则t
设 ，则。所以函数h(t)在t时是单调减函数，所以。即。所以。
因为所以 所以
22、本小题满分10分。
解： 连接od，bc，设bc交od于点m.
因为oa=od,所以oad=oda;又因为oad=dae,所以oda=dae
所以od//ae；又因为acbc,且deac，所以bc//de。
所以四边形cmde为平行四边形，所以ce=md
由，设ac=3x，ab=5x,则om=，又od=,所以md=-=x
所以ae=ac+ce=4x
因为od//ae，所以=。
23、本小题满分10分。
解：曲线c的直角坐标方程为y2=2ax (a>0)
将直线l的参数方程化为。
代入曲线c的直角坐标方程得。
因为交于两点，所以，即a>0或a<-4.
设交点m,n对应的参数分别为。则。
若成等比数列，则。
解得a=1或a=-4(舍)
所以满足条件的a=110分）
24、本小题满分10分。
解：（1）由题设知：，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
或，或。解得函数的定义域为；……5分）
2）不等式即，时，恒有，不等式解集是r，的取值范围是10分）
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