专题：导数（文）
考点一：求导公式。
1、几种常见函数的导数。
2、导数的运算法则。
例1.是的导函数，则的值是。
解析：，所以答案：3
例2. 设函数，集合m=,p=,若mp,则实数a的取值范围是。
a.(-1) b.(0,1) c.(1,+∞d. [1,+∞
解答过程]由。
综上可得mp时，
考点二：导数的几何意义与几何运用。
理解导数的几何意义。
答案：4 -11
例3: 设f(x)可导，且f′(0)=0,又=－1,则f(0)(
a.可能不是f(x)的极值b.一定是f(x)的极值。
c.一定是f(x)的极小值d.等于0
解析：由=－1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时＜0,于是当x∈(a,0)时f′(0)＞0,当x∈(0,b)时，f′(0)＜0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减。
答案：b例4. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则。
解析：因为，所以，由切线过点，可得点m的纵坐标为，所以，所以答案：3
例5. 曲线在点处的切线方程是。
解析：，点处切线的斜率为，所以设切线方程为，将点带入切线方程可得，所以，过曲线上点处的切线方程为答案：
例6. 已知曲线c：，直线，且直线与曲线c相切于点，求直线的方程及切点坐标。
解析：直线过原点，则。由点在曲线c上，则， 。
又， 在处曲线c的切线斜率为， ，整理得：，解得：或（舍），此时，，。
所以，直线的方程为，切点坐标是。 答案：直线的方程为，切点坐标是。
用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
考点三：利用导数几何意义求切线方程。
类型一：已知切点，求曲线的切线方程。
此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线在点处的切线方程为（ ）
解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选ｂ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程。
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2 与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ）
解：设为切点，则切点的斜率为．．
由此得到切点．故切线方程为，即，故选ｄ．
评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选ｄ．
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程。
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例3 求过曲线上的点的切线方程．
解：设想为切点，则切线的斜率为．
切线方程为．．
又知切线过点，把它代入上述方程，得．
解得，或．故所求切线方程为，或，即，或．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程。。此类题可先设切点，再求切点。
例4 求过点且与曲线相切的直线方程．
解：设为切点，则切线的斜率为．
切线方程为，即．
又已知切线过点，把它代入上述方程，得．
解得，即．考点四：利用导数研究函数的图象。
一般单一的导函数图像类的出现在选择题等上，此类比较简单。
综合性的导函数上的图像运用很多，结合图像分析，此类较难。此类在下文综合性题中论述。
例题：1．如右图：是f（x）的导函数， 的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ d ）
abcd）2．函数( a )
3．方程b )
a、0b、1c、2d、3
4、函数在定义域（-4，3）内可导，其图象如图，记的导函数为，则不等式的解集为。
考点五：函数的单调性。
1）一般地，设函数 y = f ( x) 在某个区间可导，如果 f ′(x ) 0 ，则 f ( x ) 为增函数；如果 f ′(x) <0 ，则 f ( x) 为减函数；如果在某区间内恒有 f ′(x) =0 ，则 f ( x) 为常数；
2）对于可导函数 y = f ( x) 来说， f ′(x ) 0 是 f ( x ) 在某个区间上为增函数的充分非必要条件， f ′(x ) 0 是 f ( x ) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件；
3）利用导数判断函数单调性的步骤： ①求函数 f ( x ) 的导数 f ′(x ) 令 f ′(x ) 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间；③令 f ′(x) <0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间。
题型：一。一般单调性。
例1：已知在r上是减函数，求的取值范围。
解析：函数的导数为。对于都有时，为减函数。由可得，解得。所以，当时，函数对为减函数。
1） 当时，。
由函数在r上的单调性，可知当是，函数对为减函数。
2） 当时，函数在r上存在增区间。所以，当时，函数在r上不是单调递减函数。综合（1）（2）（3）可知。
例2：设函数，求函数的单调区间。
分析：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性。对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性。
解：由，知。
令，从而，得或。
当变化时，与变化情况如下表。
因此，由上表知的单调递增区间是和，单调递减区间是。
巩固练习：设和是函数的两个极值点。
ⅰ）求和的值求的单调区间。
解：（ⅰ因为。
由假设知：
解得。ⅱ）由（ⅰ）知。
当时， 当时，
因此的单调增区间是。
的单调减区间是。
题型二 ：含参数的函数单调性的讨论。
例1、设函数。
ⅰ）当曲线处的切线斜率（ⅱ）求函数的单调区间；
例2: 设函数，其中，求的单调区间。
分析：本题解答过程中易忽视了求函数的单调区间的前提：先求函数定义域，务必牢记！
解：由已知得函数的定义域为，且。
1）当时，函数在上单调递减，2）当时，由=0，解得。
随x的变化情况如下表：
从上表可知：
当时，函数在上单调递减。
当时，函数在上单调递增。
综上所述：当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增。
考点六：函数的极值。
函数的极大值与极小值：
1）极大（小）值：如果 x = c 是函数 f ( x ) 在某个区间 (u , v ) 上的最大值点，即不等式 f (c) ≥f ( x) 对于一切 x ∈ u , v) 成立，就说 f ( x) 在 x = c 处取到极大值 f (c) ，并称 c 为函数 f ( x ) 的一个极大（小）值点， f (c ) 为 f ( x ) 的一个极大（小）值。
2）极大值与极小值统称为极值， 极大值点与极小值点统称为极值点； f ′(c) =0 ， x = c 若则叫做函数 f ( x ) 的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。
3）判别 f (c ) 是极大、极小值的方法：若 c 满足 f ′(c) =0 ，且在 c 的两侧 f ( x ) 的导数异号，则 c 是 f ( x ) 的极值点， f (c ) 是极值，并且如果 f ′(x ) 在 c 两侧满足“左正右负” （左负右正） ，则 c 是 f ( x ) 的极大（小）值点， f (c ) 是极大（小）值。
4）求可导函数 f ( x ) 的极值的步骤： ①确定函数的定义区间，求导数 f ′(x ) 求 f ( x ) 的驻点，即求方程 f ′(x ) 0 的根； （3） 分区间，列表。
5）②求的根；③将的根在数轴上标出，得出单调区间，由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值。
例1.若函数在处取极值，则 3
例2. 函数的定义域为开区间，导函数在内。
的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 1 _个。
例3. 设函数在及时取得极值。
1）求a、b的值；
2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。
解析：（1），因为函数在及取得极值，则有，．即，解得，。
2）由（ⅰ）可知，，。
当时，；当时，；当时，。所以，当时，取得极大值，又，。则当时，的最大值为。因为对于任意的，有恒成立，所以 ，解得或，因此的取值范围为。
答案：（1），；2）。
例4.已知函数是奇函数。
ⅰ）求的值；
ⅱ）求函数的单调区间。
解：（ⅰ因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，所以，对任意的x∈r,g(-x)=-g(x),即f(-x)- 2=-f(x)+2.
又f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.
所以解得a=0，c＝2.
ⅱ）由（ⅰ）得f(x)=x3+3bx+2.所以f′(x)=3x2+3b(b≠0).当b＜0时，由f′(x)=0得x=±
x变化时，f′(x)的变化情况如下表：
所以，当b＜0时，函数f (x)在（-∞上单调递增，在（-，上单调递减，在（，+上单调递增。
当b＞0时，f′(x)＞0.所以函数f (x)在（-∞上单调递增。
变式1. 设函数。
ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值。
ⅱ）求函数的单调区间与极值点。
ⅲ）若且在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同交点。
解：（ⅰ曲线在点处与直线相切，ⅱ）当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点。当时，由，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴此时是的极大值点，是的极小值点。
ⅲ）因为在处取得极大值，所以。
所以由解得。
由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，考点七：函数的最值。
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