时间：120分钟分值：150分。
第ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知实数x满足x2＋x<0，则x2，x，－x的大小关系是( )
a．－xc．x2解析：根据条件x2＋x<0可得x2<－x且－1答案：b
2．若a<0，－1a．a>ab>ab2 b．ab2>ab>a
c．ab>a>ab2 d．ab>ab2>a
解析：特殊值法，如取a＝－1，b＝－，可验证d项正确．
答案：d3．设a＝2x2－x＋1，b＝x2＋x，则( )
a．a>b b．ac．a≥b d．a≤b
解析：a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0.
答案：c4．下列不等式中，解集为r的是( )
a．x2＋4x＋4>0 b．|x|>0
c．x2>－x d．x2－x＋≥0
解析：a项x＝－2时，x2＋4x＋4＝0，b项x＝0时，不成立．c项x＝0时不成立．d项，x2－x＋＝(x－)2≥0.
答案：d5．关于x的不等式mx2＋8mx＋28<0的解集为。b．c．
d．解析：当x－1<0时，原不等式化为x＋(x＋1)x≤3，解得－3≤x<1；当x－1≥0时，原不等式化为x＋(x＋1)[－x－1)－1]≤3，解得x≥1.综上可知，x≥－3.
故选a.
答案：a第ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．对任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是___
解析：由已知得：当a＝2时，－4<0成立，当a≠2时解得－2综上所述：－2答案：(－2,2]
14．已知不等式(x＋y)(＋9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为___
解析：∵(x＋y)(＋1＋＋＋a≥1＋a＋
2＝(＋1)2，(＋1)2≥9，∴a≥4.
答案：415．已知正项等比数列满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值是___
解析：因为a7＝a6＋2a5，所以a5q2＝a5q＋2a5，所以q＝2，aman＝a1qm－1a1qn－1＝a2m＋n－2＝16a，所以m＋n＝6，＋＝m＋n)＝(5＋＋)
答案：16．设集合a＝，b＝，a∩b≠.
1)b的取值范围是___
2)若(x，y)∈a∩b，且x＋2y的最大值为9，则b的值是___
解析：(1)集合a所表示的区域为如图所示的阴影部分，已知a∩b≠，故b≥1.
2)(x，y)∈a∩b为图中重叠阴影部分，要使x＋2y取最大值，必在(0，b)处，所以0＋2×b＝9，所以b＝.
答案：(1)b≥1 (2)
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知a，b是不相等的两个正数，求证：
a＋b)(a3＋b3)>(a2＋b2)2.
证明：∵(a＋b)(a3＋b3)－(a2＋b2)2
(a4＋ab3＋ba3＋b4)－(a4＋2a2b2＋b4)
ab(a－b)2.∵a，b∈r＋且a≠b，ab>0，(a－b)2>0，∴ab(a－b)2>0.
(a＋b)(a3＋b3)>(a2＋b2)2.
18．(12分)已知函数f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋c.
1)当c＝19时，解关于a的不等式f(1)>0.
2)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，求实数a，c的值．
解：(1)由已知有：f(1)＝－3＋a(6－a)＋19>0，即a2－6a－16<0，解得－2所以不等式的解集为(－2,8)．
2)由关于x的不等式f(x)>0的解集是(－1,3)可知：
1,3是关于x的方程3x2－a(6－a)x－c＝0的两个根，则有。
解得a＝3±，c＝9.
19．(12分)已知函数f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb满足f(－1)＝－2，且对于任意x∈r，恒有f(x)≥2x成立．
1)求实数a，b的值；
2)解不等式f(x)解：(1)由f(－1)＝－2知，lgb－lga＋1＝0，①
又f(x)≥2x恒成立，有x2＋x·lga＋lgb≥0恒成立，故δ＝(lga)2－4lgb≤0.将①式代入上式，得(lgb)2－2lgb＋1≤0，即(lgb－1)2≤0，故lgb＝1.即b＝10，代入②，得a＝100.
2)由(1)知f(x)＝x2＋4x＋1，f(x)∴x2＋3x－4<0，解得－4∴不等式的解集为{x|－420．(12分)某投资公司计划投资a，b两种金融产品，根据市场调查与**，a产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18－，b产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝，(注：利润与投资金额单位：万元)
1)该公司已有100万元资金，并全部投入a，b两种产品中，其中x万元资金投入a产品，试把a，b两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；
2)试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
解：(1)其中x万元资金投入a产品，则剩余的100－x(万元)资金投入b产品，利润总和。
f(x)＝18－＋
38－－(x∈[0,100])
2)∵f(x)＝40－(＋x∈[0,100]，由基本不等式得：
f(x)≤40－2＝28，取等号当且仅当＝时，即x＝20.
答：分别用20万元和80万元资金投资a，b两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．
21．(12分)某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10 000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5 000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
解：设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮能够产生利润z万元．
目标函数为z＝x＋0.5y，约束条件为。
可行域如图中阴影部分的整点．
当直线y＝－2x＋2z经过可行域上的点m时，截距2z最大，即z最大．
解方程组得m点坐标为(2,2)．
所以zmax＝x＋0.5y＝3.
答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．
22．(12分)已知函数f(x)＝(a，b，c∈r，a>0，b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈n*，且f(1)<.
1)求函数f(x)的解析式；
2)函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点，若存在，求出这两点的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，bx＋c＝bx－c，∴c＝0.∵a>0，b>0，∴f(x)＝＝x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立．∴2＝2，∴a＝b2.
由f(1)<，得<，即<，∴2b2－5b＋2<0.解得(2)设存在一点(x0，y0)在y＝f(x)的图象上，则它关于(1,0)的对称点(2－x0，－y0)也在y＝f(x)的图象上，则＝y0，且＝－y0，消去y0，得x－2x0－1＝0，解得x0＝1±.∴y＝f(x)的图象上存在两点(1＋，2)，(1－，－2)关于(1,0)对称．
第三章单元综合检测
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