北航第二次应用泛函作业

发布 2022-09-24 20:19:28 阅读 2390

从数学的本质来看,最基本的集合有两类:线性空间(有线性结构的集合)、度量空间(有度量结构的集合)。对线性空间而言,主要研究集合的描述,直观地说就是如何清楚地告诉地别人这个集合是什么样子。

为了描述清楚,就引入了基(相当于三维空间中的坐标系)的概念,所以对于一个线性空间来说,只要知道其基即可,集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。

但线性空间中的元素没有“长度”(相当于三维空间中线段的长度),为了量化线性空间中的元素,所以又**性空间引入特殊的“长度”,即范数。赋予了范数的线性空间即称为赋范线性空间。但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念,为了解决该问题,所以**性空间中又引入了内积的概念。

因为有度量,所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限,但抽象空间中的极限与实数上的极限有一个很大的不同就是,极限点可能不在原来给定的集合中,所以又引入了完备的概念,完备的内积空间就称为hilbert空间。

线性赋范空间就是定义了范数的线性空间,所谓范数就是线性空间到数域的一个映射,其满足范数公理(正定性,齐次性,三角不等式),可以理解为线性空间元素的长度。内积空间就是定义了内积的线性空间,而内积可以看成是两个元素作用生成一个数,按一般向量内积理解即可。度量空间是定义了度量的线性空间,也就是两个元素之间的“长度”,满足正定性、对称性、三角不等式。

一般而言,定义了内积可以诱导出范数(也就是与自己做内积再开根号),定义了范数可以诱导出度量(两元素的度量即为元素差的范数),但度量诱导范数需要加一点限制。所谓希尔伯特空间就是定义了内积的线性空间,并且按照内积诱导出的度量是完备的(完备就是柯西序列在内部收敛)特别的,实数域上的有限维希尔伯特空间叫做欧几里得空间;复数域上的有限维希尔伯特空间叫做酉空间。

泛函分析的空间理论一个有重大意义的事实是:中的极限论及基于极限概念的分析理论的许多结果,仅依赖于模长性质,而与模长的定义无关,因而实际上并不依赖于euclid空间的特殊构造。这就说明了若某个向量空间上定义了一种类似于模长的概念,它具有正定性,齐次性,三角不等式性质,则定义极限之后,就可将euclid空间中那些仅依赖于性质的概念与结论直接推广于该空间,从而得到经典分析的一个具有广阔发展余地的拓广,从而引向赋范空间概念。

北航数值分析大作业第二次

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