第一节矩阵的初等变换。
1. 将下列矩阵依次化为行阶梯形、行最简形、标准形：
2. 写出四阶方阵的所有可能的标准形。
3. 证明： a和b 等价 a和b的标准形相同。
4. 通过在矩阵上实现高斯消元法，解线性方程组。
思考题1】在矩阵上实现高斯消元法解线性方程组时，一般只能对矩阵做初等行变换，不允许作初等列变换，试举例说明。
思考题2】设f是n阶方阵a的标准形，证明：若f可逆，则f是n阶单位矩阵。
第二节初等矩阵。
1. 在下列矩阵中找出初等矩阵，并写出相应的逆矩阵。
2. 设a为 3 阶可逆矩阵，已知 a e. 试将a表示成初等矩阵的乘积。
3. 证明：对矩阵 amn和单位矩阵em作同样的初等行变换，当a变成b时，e 就会变成一个可逆阵 p，并且 pa=b.
4. 用初等变换法证明下列矩阵可逆，并求出逆矩阵：
5. 用初等变换法解矩阵方程：
思考题】 设a和b都是23 矩阵，且ab. 求可逆矩阵q ，使得aq=b..
第三节矩阵的秩。
1. 讨论参数a,b的取值，求矩阵的秩。
2. 设矩阵，
1) 求a, b以及(a, b)的秩；
2)写出a的一个最高阶非零子式。
3. 设a为n阶方阵，且a2=a，证明：r(a)+r(a-e)=n
4. 设a是mn矩阵，b是ns矩阵，且b是行满秩矩阵，证明：r(ab)=r(a).
思考题】(1)证明：若ab=ac，且a是列满秩矩阵，则b=c；
(2)证明：若ba=ca，且a是行满秩矩阵，则b=c；
第四节线性方程组的解。
1. 设非齐次线性方程组。
1) 当取何值时，方程组有唯一解？无解？有无穷多解？
2) 有无穷多解时，求出通解。
2. 设两个齐次线性方程组。
i) (ii)
问：(i)和(ii)是否有非零公共解，若有，求出公共解。
3. 设a是n 阶方阵，是n1的列矩阵，k是数，且，证明：线性方程组ax= 有解。
4. 解矩阵方程 ax=b，其中。
思考题】已知a是列满秩矩阵，且ab=c.
证明：齐次线性方程组bx=0 和cx=0同解。
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