第一节向量的内积、长度和正交性。
1. 已知， ,是r3的一组基，用施密特正交化方法将其规范正交化。
2. 已知，
求两个向量，使它们与构成非零正交向量组。
已知a是正交矩阵，且第一列为，求a.
思考题】已知a是正交矩阵，a*是a的伴随矩阵。
证明：a*也是正交矩阵。
提示：利用伴随矩阵的性质以及正交矩阵的性质，证明(a*)t a*=e或者(a*)-1=(a*)t成立。]
第二节矩阵的特征值和特征向量。
1. 求矩阵的特征值和特征向量。
2. 设，并且是a的一个特征向量，求参数a,b的值以及所对应的特征值。
3. 设，已知at的特征值为1, 4, -2，求a, b的值。
4. 设3阶方阵a满足。
求。5. 设a2-a-2e=o，但a2e且a-e.
证明：a的全部特征值为2和-1.
思考题1】设a是正交矩阵，且，证明-1是a的特征值。
思考题2】已知是n阶矩阵a的属于特征值的特征向量，p是n阶可逆矩阵，证明：也是矩阵p-1ap的特征值，并且p-1 是对应于该特征值的特征向量。
思考题3】设a是4阶方阵，已知，，，求：a的伴随矩阵a*的一个特征值。
第三节相似矩阵。
1. 设a和b都是n阶矩阵，且a可逆，证明：ab和ba相似。
2. 设，.
已知a和b相似，求a, b的值。
3. 判断如下矩阵是否可对角化，并说明理由：
4. 设。已知a可对角化，试说明理由；
求可逆矩阵p和对角阵，使得p-1ap=；
求ak；设(x)=x2-2x-3，求(a)
5. 已知n阶矩阵a满足(a-2e)(a+e)=o，证明a可对角化。
思考题1】 设三阶矩阵a的特征值为1, 1, -2，相应的特征向量分别为。
, a是否可对角化？求矩阵a.
思考题2】若a是n阶矩阵，a o，但存在一个大于1的整数m使得，证明：a不可对角化。
第四节实对称矩阵。
1. 设实对称矩阵，求正交矩阵q，使得q-1aq成为对角阵。
2. 设a是3阶实对称矩阵，其特征值为：1=-2, 2=3=1,，已知是a的属于特征值1的特征向量，求矩阵a.
思考题】设a为3阶实对称矩阵，a2=a，且r(a)=2.
求a的全部特征值； 求行列式2e-a的值。
第五节二次型及其标准形。
1. 写出下列二次型的矩阵，并求二次型的秩。
思考题】设，，则a与b (
a) 合同且相似 (b) 合同但不相似。
c) 相似但不合同 (d) 不合同不相似。
第六节化二次型为标准形。
1. 用正交变换法化二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换。
2. 用配方法化下列二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换。
思考题】 指出下题解答中的错误，并给出正确解答。
化二次型为标准形。
错解] 作线性变换，得标准形为。
第七节正定二次型。
1. 设二次型(第6节作业第2-题中的二次型)，求：正惯性指数p、负惯性指数q以及二次型的秩；化f为规范形，并求所用的变换矩阵。
2. 已知a,b正定矩阵，k是实数，试判断a+b, ka, ab是否为正定矩阵，并说明理由。
3. 判别是否正定。
4. 已知正定，求k的取值范围。
思考题1】 设a, b 分别为m阶和n阶的正定矩阵。
试判断分块矩阵是否正定。
思考题2】 设a是mn实矩阵，e为n阶单位矩阵，实数》0，证明：ata+e是正定矩阵。
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