第一节向量和向量组。
思考题1】若一个本科学生大学阶段共修 36 门课程，成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？.
第二节向量组的线性相关性。
1. 设问： 取何值时， 能由1, 2, 3 线性表示，且表示式唯一；
不能由1, 2, 3线性表示；
能由1, 2, 3线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式。
参见教材习题四第28题)
2. 设向量组(i): 1, 2, …m 和向量组(ii): 1, 2, …m 满足。
证明：向量组(i)和(ii)等价。 (参见教材习题四第18题)
3. 设向量组(i):
向量组(ii):
问： 取何值时，向量组(i)和(ii)不等价。
参见教材习题四第2 题)
4. 设向量组： 问： 取何值时，该向量组线性相关。 (参见教材习题四第5题)
5. 已知 1, 2线性无关，证明： 1+2 , 1-2线性无关。
要求：用三种方法证明)
6. 设向量组： a：
1, 2, …s 和b：1, 2, …t，已知向量组b组可由向量组a线性表示为b=akst ，且向量组a线性无关，证明：向量组b线性相关的充要条件是秩(k)(方法一：
先证明 bx=o 与 kx=o 是同解方程组；
方法二：参见教材习题四第17题)
思考题1】设a是n阶矩阵，是n维列向量，若存在正整数m，使得am=o，且am-1o，证明：向量组， a, …am-1是线性无关的。
提示：am=o ak=o(km)，再利用线性相关性的定义进行证明]
思考题2】已知3阶矩阵a与3维列向量满足a3 = a-a2，且向量组， a, a2线性无关。
令3阶方阵p=(,a, a2)，求3阶矩阵b，使得ap=pb；
求a.第三节向量组的秩。
1. 设向量组：
求向量组的秩及其一个最大线性无关组，并将其余向量用最大线性无关组线性表示。 (参见教材习题四第 11, 12 题)
2. 设向量组： 已知向量组的秩为2，求a与b的关系。 (参见习题四第13题)
3. 设向量组：(i) 1, 2, 3；(ii) 1, 2, 3, 4；(iii) 1, 2, 3, 5，且向量组的秩分别为 r(i)=r(ii)=3, r(iii)=4.
证明：向量组1, 2, 3, 5-4的秩为4.
思考题1】1. 设向量组的秩为 r，则 (
a) 向量组所含向量的个数必大于r.
b) 向量组任意r个向量必线性无关，任意r+1个向量必线性相关。
c) 向量组有r个向量线性无关，任意r+1向量必线性相关。
思考题2】 设非齐次线性方程组a45 x=b，系数矩阵a的行向量组线性无关，则 (
a) a的列向量组线性无关。
b) 增广矩阵(a,b) 的列向量组线性无关。
c) 增广矩阵(a,b) 的行向量组线性无关。
d) 增广矩阵(a,b) 的任意4个列向量线性无关。
第四节线性方程组的解的结构。
1. 设5元齐次线性方程组，求基础解系以及通解。
参见教材习题四第20题)
2. 设a为n阶方阵，r(a)=n-3，且1, 2, 3是ax=o的三个线性无关的解向量，证明：1+2, 2+3, 3+1是ax=o的基础解系。
3. 设4元非齐次线性方程组。
用其一个特解与其对应的齐次线性方程组(称为导出组)的基础解系表出通解。 (参见习题四第26题)
4. 设矩阵a=(1,2,3,4)，其中1,2,3线性无关，1=3-4，向量b=1+2+3，求非齐次线性方程组ax=b的解。
参见教材习题四第30题)
思考题1】设a是mn 矩阵，已知r(a)=n-1，且a的各行元素之和等于0，求齐次线性方程组ax=o的解。
思考题2】设a是m3 矩阵，r(a)=1. 已知 1, 2, 3是非齐次线性方程组ax=b的三个解 ，并且。
求ax=b的通解。
第五节向量空间。
1. 判断下列各向量是否构成向量空间。
v1=v2=
参见教材习题四第34题)
2. 已知r2的两组基分别为。
1=(1,0)t, 2=(1,-1)t和 1=(1,1)t, 2=(1,2)t
求从基到基的过渡矩阵；
已知向量在基下的坐标是x=(2,3)t，求在基下的坐标y.
参见教材习题四第38题)
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加法： 数乘：
问：集合 v 是否为向量空间？为什么？
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