二阶边值问题的正解。
摘要。本文主要讨论一类二阶时滞微分方程非局部边值问题的正解，满足和，这里外和是riemann-stieltjes积分，利用椎上的不动点定理，我们能得存在性，不存在性以及多解性的问题。假如和，利用riemann-stieltjes积分的性质，非线性四点边值问题也有同样的结果。
关键字：正解；非局部边值问题；时滞微分方程；锥；不动点。
1． 引言。
本文考虑的是二阶非线性时滞微分方程。
满足如下非局部边值条件。
其中为正参数，，，是定义在riemann-stieltjes积分上，我们假定。
），是定义在[0，1]上的单调递增函数，且；
），和，；）和对所有的；
）和，且存在时成立。
近年来，常微分方程的非局部边值问题已经广泛的应用于数学，物理等诸多领域（参见文献[1，2]）。有很多方法来研究这类问题，如leray-schauder度定理，leray-schauder的非线性替换，不动点定理，临界点理论，我们都能得到存在性和不存在性以及多解性的结果。自从moiseev 等人在2024年第一次研究线性常微分方程的非局部边值问题解的存在性以来，越来越多的人开始研究非局部边值问题的正解的存在性（参见文献[4-8]）。
当k=0时，问题（1.1）—（1.2）为二阶时滞微分方程非局部边值问题， bai[20]已经得到了存在性，不存在性，和多解性的正解问题。
这里是一个正参数，，是定义在riemann-stieltjes积分，这种情况下的解满足于凹性的，刚可以根据解的凹性定义空间中的锥，利用锥上的不动点定理来讨论问题解的存在性（参见文献[9—14]）。当，满足边值条件，，这增加到三点边值问题，这篇文章的灵感来自于。当和，满足和的边值问题，我们增加到四点边值问题。
同时，这个解就不在有凹性。本文通过对应齐次方程格林函数的会计来定义合适的锥，然后利用锥上的不动点指数定理来讨论问题正解的个数（包括存在性，不存在性以及多解性）。
假如和，，非局部边值问题（1.1）—（1.2）能转换为时滞微分方程的四点边值问题。
引理1。1 假设。
ⅰ）u(t )是[a,b]的有界函数，存在c，c有，；
ⅱ）和是单调递增函数。
ⅲ）riemann-stieltjes积分存在。
那么存在， ，使得=
对于问题（1.1）—（1.2）的任意连续解，由引理1.1，存在使得，和。
若令对任意的t，那么（1.1）—（1.2）可以写成下面四点***问题的二阶时滞微分方程。
满足如下边值条件。
在1999，利用锥上的不动点定理来讨论满足的三点边值问题（1.3）—(1.4)的正解存在性。
2024年，白[12]讨论的二阶时滞微分方程四点边值问题（1.3）—(1.4)的正解的个数（包括存在性，不存在性，多解性），当和。
是连续函数。在这篇文章，我用同样的方法处理了（1.1）—（1.
2），在第三部分，我证明了（1.3）—(1.4)的存在性，不存在性和多解性的正解问题。
我也需要用到下面关键的条件：
这篇文章主要的工具是如下的锥上不动点指数定理[16—18]。
引理1.2 若是一个bananch空间，是一个锥，对任意的，定义，假设是一个全连续算子，当时。
1） 当则。
2） 当则。
2． 关于（1.1）—（1.2）的正解。
在本节中，我们首先提出了一些初步前提所需的主要在证明结果。
引理2.1.若令有如下等式成立，其对应格林函数为。
令范数被定义为是一个banach空间。显然这里表示在上的上确界范数。定义k是一个在x上的锥。
其中定义为。
容易验证，故求问题（1.1）—（1.2）的解可等价于求不动点方程的解，且由arzela-ascoli定理易证是全连续算子，为方便起见，做如下记号。
引理2.2 假设成立，若令，则有。
证明：（1）由已知可得，故有。
由引理1.2知当时。
对，定义。引理2.3.，若，则。
证明：引理的证明与参考文献[19]的证明类似，我们还能在[12，19]中找到相似的结论。
在这一节中，假设为正数，且满足。
定理2.1.假设成立。
1） 若其中或，则当时，（1.1）—（1.2）至少有一个正解。
2） 若，则当时，（1.1）—（1.2）至少有两个正解。
3） 若或，则当时，（1.1）—（1.2）至少有一个正解。
4） 若，则当时，（1.1）—（1.2）至少有两个正解。
5） 若且，则当时，（1.1）—（1.2）至少有一个正解。
6） 若且，则当时，（1.1）—（1.2）至少有一个正解。
7） 若，则对充分大的，（1.1）—（1.2）没有正解。
8） 若且对充分小的，（1.1）—（1.2）没有正解。
证明：（1）首先讨论的情况，对任意的小的正数，有。
存在（），当时有。
由引理2.3知，存在，（）时，取，对任意的我们有。
应些我们对于任意的有。
由引理2.2知，若，取足够小的正数，
由于，根据引理2.3，存在使得。
取，对任何我们根据定理有。
我们由定理1.2知，由定理2.2知。
由不动点指数的可加性，当时，其中，当时，其中，因此当时，有不动点。
9） ，故当时，（1.1）—（1.2）至少有一个正解。当，有不动点，（1.1）—（1.2）至少有一个正解。
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