1. 梯形中常见的辅助线。
我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质。下面给出几个常见的添加辅助线的方法。
1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形。
2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中。
3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题。
4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形。
5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形。
常见的辅助线添加方式如下：
梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线．
题型一：四边形有关计算。
例1】 如图，在梯形abcd中，ad∥bc，∠b=60°，∠adc=105°，ad=6，且ac⊥ab，求ab的长．
答案】例2】 已知：如图，直角梯形中，，，求的长．
答案】如图，过作于。
易证四边形为矩形， ,
例3】 如图，四边形abcd是边长为9的正方形纸片，为cd边上的点， =3．将纸片沿某条直线折叠，使点b落在点处，点a的对应点为，折痕分别与ad，bc边交于点m，n．
求bn的长；⑵求四边形abnm的面积。
答案】⑴由题意，点a与点，点与点分别关于直线对称， ，设，则．
正方形，∴．解得．∴．
连接，过点作于点。
证明，可得，则。
例4】 已知：等腰梯形中，∥，将线段绕点逆时针旋转，得到线段。
求△的面积；
若，求的长。
答案】（1）作出线段
过点作于，过点作于。
四边形是等腰梯形，∥
易证，过点作垂直于的延长线于点。
线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，∴，
2）在中，, 由≌得：
在中，由勾股定理得： ∴
例5】 如图，梯形abcd中，，，对角线，且，求梯形abcd的高。
答案】作，交的延长线于点，作，垂足为。
∵，∴四边形aced为平行四边形。
ad=ce=3，be=bc+ce=8.
ac⊥bd，∴de⊥bd.∴△bde为直角三角形 ，
∠dbc=30°，be=8,∴
在直角三角形bdf中∠dbc=30°,∴
例6】 如图，在梯形中，∥，连结并延长到，使，作，交的延长线于点．
1）求的值；（2）求的长．
答案】（1）作dm⊥ab于点m，cn⊥ab于点n．
∥，dm⊥ab，cn⊥ab，∴ dmn=∠cnm=∠mdc=．
四边形mncd是矩形。∵，mn=cd= 4．
在梯形中，∥，dab=∠cba，dm=cn．
adm≌△bcn．又∵， am=bn=．
mb=bn+mn=7．∵ 在rt△amd中，∠amd=，ad=5，am=3，．∴
2）∵，f=．
dmn=，∴f=∠dmn.∴ dm∥ef．∴ bdm∽△bef．
bf=2bm=14． ∴af=bfab=1410=4．
例7】 已知：如图，在梯形abcd中，ad//bc，ab=dc=ad=2，bc=4。求b的度数及ac的长。
答案】解法一：分别作afbc，dgbc，f、g是垂足。
∴afb=dgc=90，∵ad//bc，∴四边形afgd是矩形。
∴af=dg，∵ab=dc，∴rt△afbrt△dgc。∴bf=cg，∵ad=2，bc=4，∴bf=1，在rt△afb中，∵cosb==，b=60，∵bf=1，∴af=，∵fc=3，由勾股定理，得ac=2，∴b=60，ac=2。
解法二：过a点作ae//dc交bc于点e，∵ad//bc，∴四边形。
aecd是平行四边形。∴ad=ec，ae=dc，∵ab=dc=ad=2，bc=4，∴ae=be=ec=ab。
可证△bac是直角三角形，△abe是等边三角形，∴bac=90，b=60。在rt△abc中，ac=abtan60=2，，∴b=60，ac=2
例8】 如图，在梯形abcd中，ad∥bc，∠b=,∠c=,ad=1,bc=4,e为ab中点，ef∥dc交bc于点f,求ef的长。
答案】解法一：
如图1，过点作于点．，∴
可得四边形为矩形．∴．
又∵为中点，∴．
在中，．∴解法二：如图2，延长交的延长线于点．，∴四边形为平行四边形，．
．∵，设，则，．
．解得．，∴在中，．
题型二：圆的有关计算和证明。
例9】 已知：如图，⊙o的半径oc垂直弦ab于点h，连接bc，过点a作弦ae∥bc，过点c作cd∥ba交ea延长线于点d，延长co交ae于点f．
（1）求证：cd为⊙o的切线； （2）若bc＝5，ab＝8，求of的长．
答案】（1）证明：∵oc⊥ab，cd∥ba，∠dcf=∠ahf=90°.∴cd为⊙o的切线。
2）解：∵oc⊥ab，ab＝8，∴ah=bh==4.
在rt△bch中，∵bh=4，bc=5， ∴ch=3. ∵ae∥bc，∴∠b=∠haf.∴△haf≌△hbc.
fh=ch=3，cf=6. 连接bo，设bo=x，则oc=x，oh=x-3.
在rt△bho中，由，解得。 ∴
例10】 已知：ab是⊙o的弦，od⊥ab于m交⊙o于点d，cb⊥ab交ad的延长线于c．
1）求证：ad＝dc；
2）过d作⊙o的切线交bc于e，若de＝2，ce=1，求⊙o的半径．
答案】证明：在⊙o中，od⊥ab，cb⊥ab，am＝mb，od∥bc. ∴ad＝dc.
2）∵de为⊙o切线， ∴od⊥de ∴四边形mbed为矩形。
de∥ab. ∴mb=de=2，md=be＝ec=1.
连接ob.在rt△obm中，ob2=om2+bm2. 解得 ob= .
例11】 如图，d是⊙o的直径ca延长线上一点，点 b在⊙o上，且ab＝ad＝ao．
1）求证：bd是⊙o的切线；（2）若e是劣弧bc上一点，ae与bc相交于点f，△bef的面积为8，且cos∠bfa＝，求△acf的面积．
答案】（1）证明：连接bo．∵ ab＝ad， ∴d＝∠abd．
ab＝ao，∴ abo＝∠aob．
又∵ 在△obd中，∠d+∠dob+∠abo+∠abd＝180°， obd＝90°．∴bd⊥bo． ∵点b在⊙o上，∴ bd是⊙o的切线 ．
2）解：∵ c＝∠e，∠caf＝∠ebf ，∴acf∽△bef ．
ac是⊙o的直径，点b在⊙o上，∴ abc＝90°．
在rt△bfa中，∠abf＝90°，cos∠bfa＝，∴
又∵＝8 ，∴18 ．
例12】 已知：如图，的角平分线，以为直径的圆与边交于点为弧的中点，联结交于，．
1）求证：与⊙相切；
2）若，，求的长．
答案】（1）证明：连结 ∵为直径 ∴=90°, 的角平分线，∵，
为弧的中点，∴，
是⊙的切线
2) ∵是⊙的切线。
∴，又∵，为公共角。
在中，可得，例13】 已知ab是的直径，c是上一点（不与a、b重合），过点c作的切线cd，过a作cd的垂线，垂足是m点。
1）如图左，若，求证：am是的切线。
2）如图右，若，，求ac的长。
答案】（1）证明：连结oc. ∵cd是的切线，oc⊥cd. ∴
am⊥cd,∴.
在四边形oamc中。
oa为的半径，∴是的切线 .
2）连结oc,bc.∵cd是的切线，oc⊥cd.∴.am⊥cd, ∴
. ∴oa= oc,∴.
即。 易知， ∴
. 即。 ∴
例14】 已知：如图，bd为⊙o的直径，点a是劣弧bc的中点，ad交bc于点e，连结ab.
1）求证：；
2）过点d作⊙o的切线，与bc的延长线交于点f，若ae=2，ed=4，求ef的长．
答案】（1）证明：如图．∵ 点a是劣弧bc的中点， ∠abc＝∠adb． 又∵ ∠bad＝∠eab，∴ abe∽△adb．
2）解：∵ ae=2，ed=4，．
（舍负）．∵bd为⊙o的直径， ∴a=．
又∵ df是⊙o的切线，∴ df⊥bd.∴ bdf=．
在rt△abd中，，∴adb=．
∠abc=∠adb=.∴def=∠aeb=，．
∠f =．def是等边三角形． ∴ef= de=4
例15】 如图，已知点c在⊙o上，延长直径ab到点p，连接pc，∠cob=2∠pcb．
1）求证：pc是⊙o的切线；
2）若ac=pc，且pb=3，m是⊙o下半圆弧的中点，求ma的长．
答案】（1）∵oa=oc,∴∠oac=∠oca.∴∠cob=2∠oca. ，oca=∠pcb．
ab是⊙o直径，∴∠acb=90°, oca+∠ocb=90°．
∠pcb +∠ocb=90°．∴pco=90°,
点c在⊙o上，∴pc是⊙o的切线。
(2) 连结bm．∵m是⊙o下半圆弧中点
弧am=弧bm, ∴am=bm．∵ab是⊙o直径，∠amb=90°.∴bam=∠abm =45°
ac=pc,∴∠oac=∠p=∠oca=∠pcb.
oc=ob,∴∠obc=∠ocb=2∠pcb.
∠pco=90°,∴pcb=∠p=∠oac=∠oca=30°.∠obc=∠ocb=60 °.
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