1．写出多元回归分析、多元判别分析（fisher判别）、主成分分析运算步骤。结合自己的研究工作分析这些方法的应用价值。
一）：多元回归分析的运算步骤如下：
1. 将原始数据按下表排成n行(单位，组)，p + 1列(指标，性状)矩阵。前p列属于自变量，第p + 1列是因变量。计算所有变量的平均值。
2. 计算系数。
得矩阵。3. 解线性方程组。
4. 计算。
得回归方程
5. 进行显著性检验。
先计算以下各统计量，给出自由度。
s总 = lp + 1 p + 1f总 = n – 1
s回， f回 = p
s剩s总 – s回f剩 = n – p – 1
然后计算。最后做回归方程的显著性检验：
若 f＞，说明在a水平下显著；否则不显著。
若 r＞0.8，经验表明因变量与自变量相关显著；否则不显著。
二）：多元判别分析（fisher判别）的运算步骤如下：
问题的提出：具有n个指标，类群i和ii分别有p与q组原始数据排列成下表的形式。另有待鉴定的一组数据表示成n维向量形式x =(x1 x2 … xn)。
试问x属于类群i抑或类群ii？
其中类群i第i组数据的向量是。
类群ii的第i组数据向量是。
运算步骤：1. 先对原始数据（上表）分别计算以下求和以及平均值：
2. 再计算。
注意对称性sij = sji，值相同者避免重复计算。
3. 解线性代数方程组
如果方程有解，得判别函数。
f(x1, x2, …xn)= c1x1 + c2x2 +…cnxn
4. 将平均值代入判别函数，计算判别值。
判别值 5. 最后将判别组数据代入判别函数，进行鉴别。
y = c1x1 + c2x2 +…cnxn
若y (1)＞y (2)，当y＞c，x属于类群i，当y＜c，x属于类群ii；
若y (1)＜y (2)，当y＞c，x属于类群ii，当y＜c，x属于类群i。
三）：主成分分析工作步骤总结于下：
如果一个被研究的生物学问题具有多个(n个)性状、特征或指标，另一方面又具有多个(t个)单位、品种或实体。通过调查、实验得到这个事物的数据，该数据可以表示成一个矩阵(t行×n列)，即主成分分析原始数值矩阵。
n个指标。t个单位。
1) 对原始数据计算性状之间的相关系数，相关系数的计算可采用下面的公式。
得相关系数矩阵r。
2) 求矩阵r的特征值与特征向量，并将特征值按大小，从大到小依次排列。不妨已经按角标次序排成。
(3) 计算贡献率与累计贡献率。
第i主成分的贡献率，前i主成分的累计贡献率。
根据累计贡献率达到70%的要求，确定主成分个数m。
4) 分析前m个主成分所代表的实际意义。
四）应用价值。
多元回归分析、多元判别分析、主成分分析等多元统计数学方法在生物统计中具有相当重要的应用价值，生命是物质运动的高级形式，生命现象的多样性、重复性和复杂性，生命运动的规律蕴含在大量的随机现象中，没有统计数学作为工具无法从大量随机的现象中揭示生命活动的基本规律。这些方法在生物学的领域获得广泛应用，如遗传学、生态学、生理学等学科， 还被应用在生产领域如农业、林业、医药等方面。20世纪80年代以后在环境、生物多样性的研究和保护工作方面也得到应用。
这些方法虽然与我所学专业方向没有直接联系，但解决问题的思想手段对今后的研究有很大启发，对我们的学习有很大帮助。
2．从化学动力学数学模型讨论纳米颗粒对细胞生长影响的双m公式的导出，以及该双m公式参数的求解过程。
在细胞生长中的各种生化反应都涉及到酶的直接参与，纳米颗粒也是一种能对细胞的生长起催化作用的催化剂。现在考虑纳米颗粒对细胞生长的影响，设纳米颗粒（e）和底物（s）开始可逆的生成一个复合体（c），随后又分解为纳米颗粒和一个或几个生成物（p），反应式如下
k+1k+2
e + sce + p
k-1这是生物化学反应最普遍的一种格式。这里包括两个反应同时在进行。酶在反应中周而复始地被利用没有消失，在酶的参与下将底物s不断地转换成生成物p。
如果四种物质s、c、e和p的浓度分别是s, c, e和p；第一个反应的正负反应速率常数分别是k+1、k–1 ；第二个反应速率是k+2。反应速率常数都是非负常数。
描述如此生物化学过程的数学模型是下面的微分方程组：
假设反应之初只有酶与底物，因而初始时间t = t0时，有初始条件。
s = s0, c = 0, e = e0, p =0
由(2.1)
因而c+e是常量，应等于初始值得。
c+e = e0(常量)
将e = e0 – c代入原方程，消去变量e可得方程组。
是当反应持续下去可以假定复合体c的变化十分微小， 换句话说c维持常量，因而。方程(2.2)的第二个等式可解出c
方程(2.1)中的第一个等式将进一步简化成。
分离变量后积分这个方程得。
lns其中是积分常数，由初始值s = s0确定之后可得方程的解。
这里人们关心的是反应速度，一般可假定底物s消失和生成物p出现的速度近似相同。把底物消失的速度当作变化的速度，根据(2.3)求得初始时t = t0的值，不计符号得反应速度。
令。v = e0 k+2，km =得。
这就是我们需要获得的重要结果，称为michaelis-menten公式，或者称为双m公式。式中km称为michaels常数。将公式中s0与v0的变化作出图形(图2.
1)。从图中可以看出，当s0 = km时，v0 =，然后随着s0的增加，当s0远远大于km时，v0趋向极限值v即反应速度逼近一个最大反应速度。此速度与底物的浓度无关。
km是酶的特征性常数之一， 若v=0.5vmax，则km=[s]，可见km值等于酶促反应的初速率为最大速率vmax一半时的底物浓度。v表示在一定酶量下的最大反应速率，即酶完全被底物饱和时的反应速度，与酶浓度呈正比。
在酶的浓度不变时，对于特定底物而言，v也是一个常数。
3. 研究某一生物群体， 把染病与健康个体占整个群体比率作为基本变量， 分别记作x(t)与y(t), 染病个体的增加与健康个体数和染病者比率成正比， 比例常数为k, 暂不考虑出生与死亡，列出微分方程数学模型对方程求解并说明x与y的变化规律。
若考虑出生增长与健康个体数成正比，比例常数为a, 又考虑染病个体的死亡率为h，无其它死亡因素，列出微分方程数学模型， 再次对方程求解并说明x与y的变化规律。
当不考虑出生与死亡时，x与y的关系可由下式表示。
求解得。其中c是常量。
考虑出生与死亡，x与y的关系可由下式表示。
求解得。其中c是常量。
4. 对杉木林土壤生态系统数据进行主成分分析，试就下列运算结果分析前两个主成分的生物学意义。
第 1主成分： 特征值( 4.647244), 贡献率( 0.
331946), 累计贡献率( 0.331946),主要构成性状：真菌数量(0.
44413),全k(0.36215),微生物总数(0.32812),有效p(0.
31550),
第 2主成分： 特征值(4.002468), 贡献率(0.
2858906), 累计贡献率(0.6178366),主要构成性状：有机质量（0.
48636）, 有效n(0.40752)，放线菌数量（-0.39091），细菌数量（0.
31758）,第 3主成分： 特征值(2.85979), 贡献率(0.
2042708)，累计贡献率(0.8221074),主要构成性状： 全p(-0.
46433)，水份系数(0.41904)，又问分别建立对真菌数量与有机质量一元回归**，如何选定原始数据？写出多元回归运算步骤。
1）由于第一主成分的贡献率（33.19%）较高，第一主成分在全部性状中处于举足轻重的地位，它是认识衫木林土壤生态系统的最重要的方面。第一主成分特征向量分量绝对值较大的分量是真菌数量(0.
44413),全k(0.36215),微生物总数(0.32812),有效p(0.
31550),所有分量的值都取正值说明这些指标的变化都与主成分保持一致。从这些指标的内容说明的实际意义是真菌数量，全k,微生物总数，有效p的含量对衫木林土壤生态系统的影响较大，掌握这些指标具有重要意义。
第二主成分的贡献率(28.59%)显然低于第一主成分，它所代表的生物学意义远不及第一主成分重要。但是比率仍较高，尤其与排在其后的主成分相对比，第二主成分还占有较重要的地位，可以看出，第二主成分特征向量分量绝对值较大性状是有机质量（0.
48636）, 有效n(0.40752)，放线菌数量（-0.39091），细菌数量（0.
31758）,除放线菌数量为负值外，第二主成分的分量都取正值，说明这些指标的变化也都与主成分保持一致。
2）第二问：回归方程对于因变量的**估值的准确性有多大意义取决于自变量与因变量之间是否具有明显的相关性。如明显相关，回归方程对因变量的估值才有可能是准确而有效的；否则估值是不准确无效的，甚至是毫无意义的。
因此，两个指标的相关性大小可以作为选择数据进行一元回归**的判别标准。
从所给的数据：真菌数量(0.44413)，全k(0.
36215)，微生物总数(0.32812)，有效p(0.31550)。
不难看出，真菌数量与全k、微生物总数、有效p分别都具有明显的相关性，但真菌数量与全k这两个指标之间具有较大的相关性，因此建立真菌数量与全k的一元回归方程是有意义的。
同理，根据数据：有机质量（0.48636），有效n(0.
40752)，放线菌数量（-0.39091），细菌数量（0.31758）。
可以看出，有机质量分别与有效n、细菌数量这两个指标具有明显的相关性。其中有机质量与有效n相关性最大，因此，建立有机质量与有效n的一元回归**比较合理。
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