第21章二次根式。
一、二次根式的定义：
1、定义：非负数开平方。
2、式子：
3、二次根式成立的条件：被开方数≥0（不要忽略根指数为2）。
4、几种常见的求被开方数条件的形式：
1）被开方数中x是一般的一次二项式：如。
2）被开方数中x又在分母中：如，被开方数≥0且分母≠0。
如，被开方数≥0且分母≠0。
如，含的式子既在被开方数中，又在分母中。被开方数＞0。
3）被开方数恒定为正数，与x的取值无关：如。
4）两个被开方数互为相反数，则被开方数＝0：如。
二、两个重要的公式。
1、，表示求非负数的算术平方根的平方，被开方数≥0。
2、，表示求数的平方的算术平方根，被开方数为任意实数。
三、二次根式的乘除法。
1、二次根式的乘法公式：，反之，成立的条件≥0，≥0。
2、二次根式的除法公式：，反之，成立的条件≥0，＞0。
3、二次根式的乘除法运算的技巧：
1）根号里的被开方数依次相乘或相除，根号外的式子、数字依次相乘或相除。
2）被开方数简单、常见的可以先化简，在根据根号外、根号里的依次计算。
4、最简二次根式：二次根式运算的结果要化为最简二次根式。
（1）最简二次根式的定义：①被开方数不含有分母，分母中不含有根号；
被开方数中所有的因数或者因式的幂的指数要小于2。
2）常见的二次根式的化简：
①被开方数的数字因数。
②被开方数的字母因数。
被开方数中有分母。
分母中有根号。
5、对特别的二次根式化简：
一定要先辨别根号外的字母的取值为正还是为负，根号外有负号，一定留下负号，再将字母平方后放入根号里。
如。四、二次根式的加减运算。
1、同类二次根式：
定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。（类比整式中的同类项理解）
2、二次根式的加减：（类比整式中的合并同类项）
（1）先将每一个二次根式化简为最简二次根式；
2）再合并同类二次根式，根号外的同类二次根式的“系数”相加减，根号、被开方数、根指数不变。不是同类二次根式的不能合并。
3、二次根式的混和运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的要先算括号里的。
第22章一元二次方程。
一、一元二次方程的概念。
1、一元二次方程的定义：（类比一元一次方程、二元一次方程的定义）
只有一个未知数x，含未知数的项的最高指数为2的整式方程就是一元二次方程。
2、一元二次方程定义中关键的三个条件：（123
3、一元二次方程的一般形式：（≠0）
4、一元二次方程（≠0）有一个根为0，则代入方程得到＝ ，有一个根为1，则代入方程得到＝ ，有一个根为－1，则代入方程得到＝ 。
5、含待定系数的方程是一元二次方程需要满足的条件：
（1）二次项系数不能为0；
2）含的项的最高次数为2。
如：关于的方程是一元二次方程，则的值是。
二、一元二次方程的解法。
1、直接开方法：适合的方程特点：
1）没有一次项，只有二次项和常数项。如方程。
2）关于的项是完全平方项，另一个项是非负数。如，注意开方时，有一正一负两个值。
3）关于的所有项都是完全平方项，如，利用中，得到或者（即两个数的平方相等，那么这两个数相等或者互为相反数），转化为一元一次方程，进行求解。
2、因式分解法。
（1）提公因式法：适合的方程特点。
①没有常数项：如。
公因式是一个整体：如，
2）平方差公式，可以用平方差公式的还可以直接开方法。
3）完全平方公式：符合完全平方公式的特点。
4）十字相乘法：
二次项的系数为1时：把常数项分解成两个数的乘积形式，这两个数的和是一次项系数。
二次项系数不是1时：二次项分解长两个项相乘，常数项分解成两个数相乘，交叉相乘得到的积的和是一次项。最后，答案是横着写的。
如，分解为与的乘积，常数项－4分解为－1与4的乘积。
左边上下的积是原来的二次项， 右边上下的积是原来的常数项，交叉相乘的积的和是原来的一次项。
答案是横着左右组合的：，因此原方程分解为。
3、配方法：（a≠0）
（1）配方法主动采用时，一般是二次项系数为1，一次项系数为偶数时。
2）配方法的步骤：
常数项移到方程的右边，左边只有二次项和一次项。
二次项系数化为1，在二次项系数为1的前提下，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方。
左边写出一个关于x的完全平方式形式，右边是一个非负数。
直接开方法求解，注意，开方时有一正一负两种情况。
解两个一元一次方程，得到方程的解。
如：解方程。
解：； 常数项移到方程的右边）
二次项系数化为1）
；（二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方）
开方，一正一负两个值），
3）配方法的应用。
利用配方法求关于x的二次三项式的最值，二次项系数不为1的，一定将二次项系数提出来，使得二次项系数变为1，而不是同时除以将其变为1（切记切记）。一般的，二次项系数为正时，有最小值；二次项系数为负时，有最大值。
如。二次项系数运用提公因式的方法提出来，与常数项无关。）
（括号里的二次项系数为1，配一次项系数一半的平方，注意括号外面的系数对添项的影响。）
写成完全平方与另一个数的和形式）
平方项为0时，原式取得最值。
因此，当时，原式有最小值为。
注意：当原来的二次项系数为负数时，原来的二次三项式有最大值。
4、求根公式法： （a≠0），是在配方法的基础上，推导出的方法。
（1）求根公式的推导（配方法）：
解： 方程的左边是平方项，右边的分母恒定为正数。
当＜0时，右边为负数，原方程没有实数解。
当＝0时，右边为0，原方程为，得到，方程有两个相等的根。
当＞0时，两边同时开方得到。
2）使用求根公式解方程的步骤：
①确定二次项系数、一次项系数、常数项。
②计算的值。
直接代入求根公式：切记牢记求根公式。
3）对于任何一个一元二次方程，如果不考虑解方程的技巧和简便方法，都可以用求根公式进行求解。
对于一个二次项、一次项、常数项齐全的一元二次方程，在解方程时，第一步：辨别是否符合完全平方公式的特点；第二：确定能否用十字相乘法的办法将方程分解成两个关于的一次二项式的乘积；第三：
决定是否用求根公式解方程。
5、换元法在解一元二次方程中的运用。
1）整体意识，换元达到降次的目的。
如：解方程。
2）整体意识，换元达到化繁为简的目的。
如：解方程。
设＝，则方程变为，得到求解出的值后，再代入求出的值。
三、一元二次方程（a≠0）根的判别式。
1、从配方法中得到： ，在的值决定方程的根情况。
2、一元二次方程根的判别式：
1）当＜0时，原方程没有实数根。
2）当＝0时，原方程有两个相等的实数根。
3）当＞0时，原方程有两个不相等的实数根。 ，
3、注意逻辑关系，反之：
1）原方程没有实数根，则＜0。
2）原方程有两个相等的实数根，则＝0。
3）原方程有两个不相等的实数根，则＞0。
4、常见题型：
1）直接计算的值，根据值的符号判定原方程的根的情况。
①直接的完整的方程：如方程，的根情况。
方程中有待定系数，先计算出值，再判断的正负号，确定方程的解。
如：关于的方程的根的情况方程的根情况是。
2）已知原方程的根的情况，求方程中待定系数的值。
如：关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是。
3）证明原方程有两个不相等的实数根。这种题型是先计算的值，根据值的符号作出判定。
如：求证：当取任意实数时，关于的方程总有两个不相等的实数根。
注意：这里是要证明的值为正数，而不是已知的值（与前面第二种情况相反）。因此，一定注意书写格式。
证明：原方程整理得：，因为＝＞0，所以无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根。
四、一元二次方程（a≠0）根与系数的关系。
1、在配方法中得到（a≠0）的两个根 ，。
2、一元二次方程（a≠0）的两根和，两根积。
3、常见题型：
（1）直接计算已知方程的两根和、两根积：
如：方程的两根和两根积。
2）计算已知方程的两根的“对称式”代数式的值：
如：方程的两根为、，则。
在计算有关、的代数式的值时，注意完全平方公式的变形运用：
如； 3）已知方程的一根，求另一根和待定系数：
如：若关于的方程的一根为－1，则另一根为的值为。
分析：原方程中二次项和一次项确定，因此从两根和入手：，得到另一根为3；再计算两根积，得到。
九年级化学各章知识点总结
第一章大家都来学化学知识点。一 物理变化与化学变化。一 概念。1 物理变化 物质发生变化时没有生成新物质，这种变化叫物理变化。例 火柴梗被折断 玻璃破碎 小麦加工成面粉 水的三态变化 石蜡熔化 食盐溶解在水中 灯泡 电炉丝通电发光 发热。以上都是没有新物质生成的变化属于物理变化。2 化学变化 物质发...
九年级 物理各章知识点
九年级 一 宇宙和微观世界。1.宁宙是由物质组成的。地球在离太阳比较近的第三条轨道上。地球及其他一切天体都由物质组成的，物质处于不停的运动和发展中 物体 与 物质 的区别和联系 物体是指具有一定形状 占据一定空间，有体积和质量的实体。而物质则是指构成物体的材料。比如桌子这个物体是由木头这种物质组成的...
年整理九年级物理各章节知识点总结
第13章 第14章内能。第15章本章知识结构图 第16章 第17章。一 分子热运动。第18章 1.分子热运动 第19章 1 物质的构成 常见的物质是由极其微小的粒子 分子 原子构成的。无论大小，无论是否是生命体，物质都是由分子 原子等粒子构成。第20章 2 扩散 不同物质在相互接触时彼此进入对方的现...