九年级专项复习三

---二次函数综合应用（一）

经典试题例析】

例1 如图，如图，已知抛物线 y=x2+bx+c与x轴交于点a（-4，0）和b（1，0）两点，与y轴交于c点．

1）求此抛物线的解析式；

2）设e是线段ab上的动点，作ef∥ac交bc于f，连接ce，当△cef的面积是△bef面积的2倍时，求e点的坐标；

3）若p为抛物线上a、c两点间的一个动点，过p作y轴的平行线，交ac于q，当p点运动到什么位置时，线段pq的值最大，并求此时p点的坐标．

例2 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于a、b两点，a点在原点的左侧，b点的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，-3）点，点p是直线bc下方的抛物线上一动点．

1）求这个二次函数的表达式．

2）连接po、pc，并把△poc沿co翻折，得到四边形pop′c，那么是否存在点p，使四边形pop′c为菱形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由．

3）当点p运动到什么位置时，四边形abpc的面积最大并求出此时p点的坐标和四边形abpc的最大面积．

例3 在平面直角坐标系中，抛物线经过o（0，0）、a（4，0）、b（3，）三点．

1）求此抛物线的解析式；

2）以oa的中点m为圆心，om长为半径作⊙m，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点p，过点p作⊙m的切线l，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果可保留根号）

自主训练】1.如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为b（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是。

第1题第2题。

2.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c＞0；②a+b+c＜0；③2a-b＜0；④b2+8a＞4ac中正确的是（填写序号。

3.已知抛物线y=x2+bx经过点a（4,0）。设点c（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点d，使得∣ad-cd∣的值最大，则d点的坐标为。

4.已知抛物线y=-x2+mx-m+2.若抛物线与x轴的两个交点a、b分别在原点的两侧，并且ab=，则m的值为。

5.已知实数x、y满足x2+3x+y-3=0，则x+y的最大值为。

6.关于x的二次函数y=-x2+（k2-4）x+2k-2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方，则此抛物线的解析式为。

7.已知抛物线 y=-x2+bx+4上有不同的两点e（k+3，-k2+1）和f（-k-1，-k2+1）．

1）求抛物线的解析式；

2）如图，抛物线 y=-x2+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点a和b，m为ab的中点，∠pmq在ab的同侧以m为中心旋转，且∠pmq=45°，mp交y轴于点c，mq交x轴于点d．设ad的长为m（m＞0），bc的长为n，求n和m之间的函数关系式；

3）当m，n为何值时，∠pmq的边过点f？

8.已知：如图一次函数y= x+1的图象与x轴交于点a，与y轴交于点b；二次函数y= x2+bx+c的图象与一次函数y= x+1的图象交于b、c两点，与x轴交于d、e两点且d点坐标为（1，0）．

1）求二次函数的解析式；

2）求四边形bdec的面积s；

3）在x轴上是否存在点p，使得△pbc是以p为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点p，若不存在，请说明理由。

9.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为c（1，1）且过原点o．过抛物线上一点p（x，y）向直线 y=作垂线，垂足为m，连fm（如图）．

1）求字母a，b，c的值；

2）在直线x=1上有一点 f(1，)，求以pm为底边的等腰三角形pfm的p点的坐标，并证明此时△pfm为正三角形；

3）对抛物线上任意一点p，是否总存在一点n（1，t），使pm=pn恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由．

10.如图，四边形abco是平行四边形，ab=4，ob=2，抛物线过a、b、c三点，与x轴交于另一点d．一动点p以每秒1个单位长度的速度从b点出发沿ba向点a运动，运动到a停止，同时一动点q从点d出发，以每秒3个单位长度的速度沿dc向点c运动，与点p同时停止．

1）求抛物线的解析式；

2）若抛物线的对称轴与ab交于点e，与x轴交于点f，当点p运动时间t为何值时，四边形poqe是等腰梯形？

3）当t为何值时，以p、b、o为顶点的三角形与以点q、b、o为顶点的三角形相似？