第一章函数与极限。
第1节映射与函数。
1．设，则（ a ）。
a. b. c. d.
2．函数是（ d ）。
a.有界函数b.单调函数 c.周期函数 d.偶函数。
3．设函数是奇函数，是偶函数，且和可以构成复合函数，。则其中为奇函数的是（ a ）。
a. b. c. d.
4．函数与其反函数的图形对称于直线。
5．设（重复合）。若，求的表达式。
解：归纳可知。
6．已知函数的定义域是，。求的定义域。
解：当时，定义域为；当时，定义域为空集；当时，定义域仅含一点。
7．已知与，且。求并写出其定义域。
解：，定义域为。
第2节数列的极限。
1．数列极限的几何意义是（ d ）。
a.在点a的某一个邻域的内部含有中的无穷多个点。
b.在点a的某一个邻域的外部含有中的无穷多个点。
c.在点a的任何一个邻域的外部含有中的无穷多个点。
d.在点a的任何一个邻域的外部至多含有中的有限个点。
2．设为的两个子列且，则（ c ）。
a. b. c. 不存在 d.
3．若，是的一个子列，则（ b ）。
a. 不确定 b. c. d.
4．若，请说明是什么？若，问存在与否？请举例说明。又若，如何？
证明：由定义知，，使得当时，有成立。注意到。因此当时，有。即。
反过来若，则不一定存在。比如，则不存在，但。若，则由知。
第3节函数的极限。
1．如果存在，则（ a ）。
a.不一定存在 b.无定义 c.有定义 d.为0
2．如果有意义，则（ d ）。
a.存在 b.不一定存在 c.存在且为0 d.一定不存在。
3．当时，函数的极限为（ d ）。
a.2 b.0 c. d.不存在，但不为。
4．极限（ c ）。
a.0b.2 c.不存在 d.1
5．极限（ c ）。
a. b. c.不存在 d.1
第4节无穷小与无穷大。
1．无穷多个无穷小量之和是（ d ）。
a.必是无穷小量 b.必是无穷大量。
c.必是有界量 d.是无穷小或是无穷大或是有界量。
2．若，则必有（ d ）。
a. b.
cd.为非零常数。
3．当时，变量是（ d ）。
a.无穷小b.无穷大
c.有界的，但不是无穷小量 d.无界的，但不是无穷大。
4．“当时，是无穷小”是的（ c ）。
a.充分条件b.必要条件
c.充分必要条件d.既非充分又非必要条件。
5．若当时，都是无穷小，则当时，（ d ）不一定是无穷小。
ab. cd.
6．证明：函数在区间上无界，但不是时的无穷大。
证：假设函数在区间上有界，则使得函数。若取。
则有矛盾。所以在区间上无界，但也不是时的无穷大。因为若取，则当时，，而此时。
第5节极限运算法则。
1．极限（ a ）。
a.0b.1c.2d.不存在。
2．若极限存在，不存在，则（ c ）。
a.必不存在 b.必存在。
c.必不存在 d.必存在。
3．若存在，则下列极限一定存在的是（ b ）。
a. b. c. d.
4．极限（ b ）。
abc. d.不存在。
5．求极限。
解：。6．求极限。
解：。7．求极限。
解： 8．求极限。
解：。9．求极限。
解：。10．求极限。
解：。11．求极限。
解：。12．已知，其中是常数，求。
解：，所以。
第6节极限存在准则两个重要极限。
1．下列各式中正确的是（ c ）。
a. b. c.
2．设对任意的，总有，且则（ d ）。
a.存在且等于零 b.存在但不等于零 c.一定不存在 d.不一定存在。
3．记，，则（ b ）。
a. bc. d.
4．求极限。
解：。5．求。
解：。6．求极限。
解：。7．求极限。
解：由于，所以由夹逼定理可得。
8．设为非零常数，求。
解：。9．求极限。
解：由于，所以由夹逼定理可知原极限等于1。
10．设，。试证明数列的极限存在，并求此极限。
证：由题设易知数列单增，又归纳可证。因此存在，记，则在迭代公式两边去极限可得。由此解得。
第7节无穷小的比较。
1．设，，则时，下列结论成立的是（ d ）。
a.与为等价无穷小 b.是比高阶的无穷小。
c.是比低阶的无穷小 d.与为同价无穷小，但不等价。
2．下列运算正确的是（ c ）。
a. b.当时，故。
c.当时，故。
d.当时，
3．设当时与均为的同阶无穷小，则（ c ）。
a.是的同阶无穷小 b.是的高阶无穷小。
c.是的高阶无穷小 d.是的同阶无穷小。
4．设当时，是比高阶，而比低阶的无穷小，则。
5．求极限。
解：。6．求极限。
解：。7．设是时无穷小，且。证明当时，与。
是等价无穷小。
证 ： 第8节函数的连续点与间断点。
1．设，则在（ d ）。
a.都间断b.都连续。
c.连续，间断d.间断，连续。
2．函数在点处左右极限存在并相等是其在点处连续的（ b ）。
a.充分条件 b.必要条件 c.充要条件 d.既非充分条件也非必要条件。
3．设，讨论的间断点，其结论为（ b ）。
a.不存在间断点 b.存在间断点c.存在间断点 d.存在间断点。
4．已知在上连续，且，则必有（ b ）。
a. b.
c. d.
5. 函数在连续是在连续的充分条件。
6．函数的间断点为（并指明类型）第一类间断点；第二类间断点。
7．研究函数的连续性。
解：当时，；当时，。当时，。为的第一类间断点。
8．设在处连续，求。
解：，，得。
9．试给函数在处补充定义，使函数在处连续。
解：补充定义。
第9节连续函数的运算与初等函数的连续性。
1．设，它的连续区间是（ d ）。
a. b.， c. d.,
2．设处处连续，则=（ d ）。
abcd.
3．求极限。
解：。4．求极限。
解：。5．已知在处连续，求常数之值。
解：由得。6．已知，求常数。
解：由得。7．求极限。
解：。第10节闭区间上连续函数的性质。
1．若在上连续，且，证明在内至少存在一点，使得。
证：设，则在上连续，且，。由零点存在定理知在内至少存在一点，使得即。
2.设，。证明至少存在一点，使。
证：因为，所以在上存在最大值和最小值， 即，。
于是有，这样由介值定理可得至少存在一点使得。
3．证明方程至少有一个小于1的正根。
证：设，则在上连续。又，所以由零点存在定理知至少存在一点，使得。即方程至少有一个小于1的正根。
4．设是上非负连续函数，。证明对于任意，方程在上有根。
证：设，则。又；。1）若，则即为方程的根。
2）若，则即为方程的根。
3）若和均不为零，则由零点存在定理知至少存在一点，使得。综上所述知结论成立。
综合练习。1．函数是（ b ）。
a.无界函数 b.周期函数 c.单调函数 d.偶函数。
2．设和在内有定义，为连续函数，且，有间断点，则（ b ）。
a.必有间断点 b.必有间断点。
c.必有间断点 d.必有间断点。
3．设存在，且，则与。
4．求极限。
解：注意到，所以。
故原式。5．求。
解：因，而。
。所以由夹挤定理可得原极限等于。
6．设。讨论数列的敛散性。若收敛，求其极限。
证明：首先注意到。其次由知单调下降且有下界。因而数列收敛。设。
7．设函数对于区间上的任意两点，恒有，其中为正常数，且。证明：至少有一点，使得。
证：任取，由题设知。因此，进而，即在区间上连续。又，所以由零点定理至少有一点，使得。
8．设且的函数值集合也是。证明存在使得。
证明：设，则。注意到，。
1）若，即，此时。
2）若，即，此时。
3）若和均不为零，则由零点存在定理知至少存在一点，使得即。综上所述知结论成立。
9．证明：若且存在，则在有界。
证：设，则由定义可知，对使当时有成立，进而。
即在有界。又在闭区间上连续，所以有界。不妨设。
取，则。10．求曲线的斜渐近线。
解：设曲线的斜渐近线，则，所以曲线的斜渐近线为。
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