第3章静电场及其边值问题的解法。
3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：
解：已知空间的电位分布，由和可以分别计算出电场强度和体电荷密度。
顶端▲）3.6有和的两种电介质分别分布在和的半无限大空间。已知时。试求时的。
解：设，则由题意可知。
两种电介质的交界面上无自由电荷，则边界条件为或，则。
所以，z < 0 时： （顶端▲）
3.11如题3.11图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质和。当两极板之间外加电压时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。
解：对于图a：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与有关，均满足一维拉普拉斯方程：
且由介质分界面的边界条件可知， 两种介质中的电位分布是相同的，其通解为：
根据已知条件，解得和，即平板电容器中的电位分布为：
根据，可以得到平板电容器中的电场强度：
对平板上，面电荷密度分别为。
总电量为。电容器的电容为：
对于图b：忽略边缘效应，同样可认为电位分布也只与有关，均满足一维拉普拉斯方程，两种介质中的电位分布的通解可以分别设为。
和 根据已知条件和，以及分界面处的边界条件和可以解得。
和 根据，可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为。
和 对平板上，面电荷密度为：
总电量为。电容器的电容为顶端▲）
3.13如题3.13图所示，半径为的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为。其一半埋于介电常数为的介质中，一半露在空气中。试求各处的电位和电场强度。
解：设导体电位为零。以导体圆柱中心轴为z轴建立圆柱坐标系，空间电位与只与坐标ρ有关，即，在圆柱坐标系中，设电位分布为：
1、φ2均满足一维拉普拉斯方程，即。
将上述两方程分别直接积分两次，得通解：
和 在介质分界面上任一点电位皆连续，则和，即。
无限长导体圆柱上电位为0，即，可得，则通解可写为：
导体圆柱表面的面电荷密度为：
单位长度导体圆柱上的电量为：
或： 于是得到导体圆柱外的电位和电场强度分别为。
和顶端▲）3.16顶端夹角为的带电导体圆锥垂直于无限大的接地导体平面，但两者之间有一缝隙。当圆锥所加电压为时，试求圆锥体与导体平面之间的电位分布及电场强度。
解：由于圆锥体与导体平面之间的电位分布均仅为坐标的函数，满足一维的拉普拉斯程。
即 将上述方程分别直接积分，得出通解为。
利用边界条件和解得。
和 由此可得圆锥体与导体平面之间的电位和电场强度的分布分别为。
和 顶端▲）
3.18题图所示矩形空间区域内的电位分布，已知边界条件为：
解：(1) 本题属于二维边值问题：，其电位满足的。
laplace方程可用分离变量法求解。
由题意可知：y方向具有齐次边界条件，则，，其通解形式为：
由边界条件，即由可得：
和 则通解亦为：
代入边界条件：
由于，则，代入通解得。
利用公式：，得。
令常数，则通解可写成：
将上式对求和，得该边值问题的解：
最后，将边界条件代入上式，得。
上式两边同乘，并作积分：
利用三角函数的正交关系：，则。
而，则系数。
或 最后得到电位分布为：
2) x方向满足齐次边界条件，则，，其通解形式为：
将上式运用边界条件和，可以得到。
再由边界条件以及，可以得到。
则 式中，。将上式对求和得此边值问题的解：
最后，将边界条件代入上式，得。
两边同乘，作积分并利用三角函数的正交性：
得系数： 或
最后得到电位分布为：
顶端▲）3.32若两个半无限大导体平面相交成α角，其间放一根无限长带电直线，线电荷密度为，且与两平面的交线平行。试求下列情况下α角形区域内的电位分布：
解：设导体平面接地，则o点电位亦为零。以o点为零电位参考点。
1) α90°时，对应3个镜像（线）电荷（位置如图）：，
p点电位为各线电荷在p点电位的叠加：
r、r1、r2、r3分别为到p点的距离，r0为各线电荷到o点的距离。代入整理上式得：
2) α60°时，对应5个镜像（线）电荷（位置如图）：，
设r、r1、r2、r3、r4、r5分别为。
到p点的距离。各线电荷到o点的距离相。
等（设为r0），则p点电位为：
3)α=45°时，，对应2n-1=7个镜像（线）电荷（图略），p点的电位为：
顶端▲）3.33内半径为的导体球壳内有一个点电荷，距球心为，球壳的厚度为。试求下列情况下，空间各处的电位分布：
1)球壳接地2)球壳接电位3)球壳带电量。
解：可将电场空间分成3个区间进行讨论、及（r为场点p到球心的距离）
1) 球壳接地时：电位分布。
：（采用镜像法计算电位）引入镜像电荷。
（如图）该区域（球型空腔）内电位。
式中分别为空腔内场点分别到的距离。
2) 球壳接电位时：设外表面带电荷q，则q在。
外表面分布为均匀分布。
在边界上电位连续，即。
则该区域电位。
（采用镜像法计算电位）引入镜像电荷（如图）
及（位于球心）
设该区域中场点p到电荷的距离分别为，则。
3) 球壳带电量时：静电感应平衡后球壳外表面均匀带电，则。
=常数φ0（采用镜像法计算电位）
引入镜像电荷（如图）
式中，分别为该区域中场点p到电荷的距离。
顶端▲）
电路第l 2章作业解答
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