1. 设a=, r是p(a)上的包含关系，r=?
2．a=,为a上的大于关系，为a上的小于等于关系，则和的矩阵表示为？
3. 已知集合，，写出关系的关系矩阵。
4. 已知集合和a上的二元关系r,画出r的关系图：
5. 设，和是上的两个关系，试求。
6. 设，上的关系，试求复合关系。
7.设，是从到的关系，，试求逆关系。
8. 设集合，二元关系r和s分别为，，求，
9. 设和是集合上的关系，其中，求：
10. 集合，判断下列关系是否具有自反关系？
11. 集合，判断下列关系是否具有对称或反对称关系？
12．判断下列关系是否为可传递的关系？
13. 设，a上的下列关系是否是传递的？如果不是，请举出反例。
14. 设，请写出。
1) a上所有的自反关系。
2) a上所有的反自反关系。
3) a上所有的对称关系。
4) a上所有的反对称关系。
5) a上所有的传递关系。
15. 请给出满足下列条件的二元关系的实例。
1) 既是自反的又是反自反的。
2) 既是对称的又是反对称的。
3) 既是自反的又是对称的。
16. 描述实数集r上的二元关系s的性质：
17. 设s为x上的二元关系，证明若s是自反的和传递的，则。
18. 设r是上的关系，，求：
1)r的自反闭包。
(2)r的对称闭包。
19. 设，r是a上的二元关系，如图2-2所示，求。
1)和。2)分别画出和。
图2-220. 判断整数集z上的下列二元关系是否为z上的等价关系，并说明理由。
21. 设，试判断a上的关系和是否为等价关系，若是，则写出集合a中每个元素生成的等价类。
22. 设，判定下列各集合是否是s的一个划分：
23 求集合的所有划分。
24．考虑任务集t, 它包含了拍摄一张室内闪光**必须按顺序完成的任务，包括第一步，打开镜头盖；第二步，照相机调焦；第三步，打开闪光灯；第四步，按下快门按钮。在t上定义关系r如下：当且仅当或者任务必须在任务之前完成。
判断r是否是偏序关系，并画出关系图。
25. 判断下列关系是否为全序关系。
1) 集合， a上的关系；
2) 实数集上r的小于等于关系。
26. 给定集合上4个偏序关系的关系如图2-5所示，画出它们的哈斯图，并说明哪一个是全序关系，哪一个是良序关系？
图2-527. 若，设“”是a上的整除关系。
1) 画出偏序集的哈斯图；
2) 求出的最大元、最小元、极大元和极小元。
28．设n为自然数集，下述4个集合哪些是拟序、偏序、线序、良序集合？
1. 设a=, r是p(a)上的包含关系，r=?
解答与分析：首先根据幂集定义，可以得到p(a)=,又根据关系的定义，可以得到p(a)上的包含关系ra}),
2．a=,为a上的大于关系，为a上的小于等于关系，则和的矩阵表示为？
解答与分析：考察利用矩阵表示关系，可以先写出关系，根据题意可以得到， =当时，集合上的二元关系的关系矩阵是一个n阶方针，其元素非1即0，是按中任意两个元素是否有关系来确定的，据此写出的矩阵，又根据和的关系，将中的1元素变为0，0元素变为1，可以得到的矩阵。
3. 已知集合，，写出关系的关系矩阵。
解答与分析：对于从到的二元关系，其关系矩阵是一个矩阵，初学者可以采用上题的方式，将关系中的元素列举出来，也可以采用列表的方式，将a中的元素竖排，将b中的元素横排作为表头，然后根据条件，如果满足则对应表中的元素为1，否则为0，再根据该表写出矩阵。
4. 已知集合和a上的二元关系r,画出r的关系图：
解答与分析：集合a中有六个元素，因此在关系图上有六个点，根据二元关系中的有序对按照从第一元素到第二元素的方向连线，如果是(x,x)，则在点x处绘制自环，方向不限，根据题意，r的关系图如图2-1所示：
图2-15. 设，和是上的两个关系，试求。
解答与分析：先求出和中的有序对，再根据关系的运算性质求出交、并、补。根据题意：因此可以得到：
6. 设，上的关系，试求复合关系。
解答与分析：根据复合关系的定义，关系中有序对，只要，则有。因此，
7.设，是从到的关系，，试求逆关系。
解答与分析：根据逆关系的定义，将r中每个有序对内的元素位置互换，可以得到。
8. 设集合，二元关系r和s分别为，，求，
解答与分析：根据定义，是由r中有序对的第一元素组成的集合，则有；是由s中有序对的第二元素组成的集合，则有；将s中有序对的第一元素4添加到中，可以得到。
9. 设和是集合上的关系，其中，求：
解答与分析：(1)和(2)是求复合关系， (3)是求关系的三次幂，，根据复合关系和关系的幂的定义，可以得到。
3),10. 集合，判断下列关系是否具有自反关系？
解答与分析：判断是否具有自反关系，可以根据定义，对于有序对已经列出且数量不多的关系，先看集合a中的所有元素的有序对(x,x)是否都在二元关系中。此题中，不是自反关系，因为对于所有的；不是自反关系，因为；是自反关系。
11. 集合，判断下列关系是否具有对称或反对称关系？
解答与分析：根据对称关系和反对称关系的定义，因为均出现在中，同样均出现在中，因此是对称关系，但不是反对称关系；不是对称关系，因为，同样，但，，但，所以属于反对称关系；即是对称关系，也是反对称关系。
12．判断下列关系是否为可传递的关系？
解答与分析：根据传递关系的定义， 因为，所以不是可传递的关系，和是可传递的关系，因为没有出现的情况。
13. 设，a上的下列关系是否是传递的？如果不是，请举出反例。
解答与分析：根据定义，是传递的；不是传递的，因为，，但；不是传递的，因为。
14. 设，请写出。
1) a上所有的自反关系。
2) a上所有的反自反关系。
3) a上所有的对称关系。
4) a上所有的反对称关系。
5) a上所有的传递关系。
解答与分析：
1) 由于=，根据自反的定义，a上的自反关系必须包含，所以a上的自反关系有4种，分别是，，，
2) 根据反自反的定义，a上的反自反关系必须不包含，所以a上的反自反关系也包括4种，分别是空关系，，，
3) 根据对称的定义，a上的对称关系r，如果， 则，所以考虑在，，中选取0个，1个，2个，和3个有序对构成的集合，一共有8种，分别是空关系，，，
4) 根据反对称的定义，a上的反对称关系r，如果，则，所以考虑在的子集中删去同时含有和的4个子集后，其他子集都是反对称关系，共有12种，分别是空关系。
5) 对于a上传递关系r,如果，，必须有和。所以a上共有13种传递关系，分别是空关系。
15. 请给出满足下列条件的二元关系的实例。
4) 既是自反的又是反自反的。
5) 既是对称的又是反对称的。
6) 既是自反的又是对称的。
解答与分析：(1) 设r是集合a上的二元关系，如果r是自反的和反自反的，，都有，是矛盾的。因此，只有空集上的空关系既是自反的又是反自反的。
(2) 集合a上的恒等关系既是对称的又是反对称的。(3) 集合a上的恒等关系既是自反的又是对称的。
16. 描述实数集r上的二元关系s的性质：
解答与分析：s不具有自反性，因为取；s也不具有反自反性，因为取；因为，所以s不是对称的；s是反对称的，因为设；s是传递的，因为对于。
17. 设s为x上的二元关系，证明若s是自反的和传递的，则。
解答与分析：要证明，即证明和同时成立。
证明：对任意的， 所以；另外，对任意的，所以；由此可知，。
18. 设r是上的关系，，求：
1)r的自反闭包。
(2)r的对称闭包。
解答与分析：根据定理可以求出，。
19. 设，r是a上的二元关系，如图2-2所示，求。
1)和。2)分别画出和。
图2-2解答与分析：首先可以根据图2-2写出关系r包含的有序对，，然后求出。
在此题中，可以看出，和的关系图如图2-3所示所示。
图2-320. 判断整数集z上的下列二元关系是否为z上的等价关系，并说明理由。
解答与分析：判别z上的关系r是否是等价关系，可根据等价关系的定义，若r即是自反的、对称的，又是传递的，则一定是等价关系。若三条中只需一条不满足，则不是等价关系。
不是z上的等价关系，因为它不满足对称性。例如，有，但；是z上的等价关系。因为，是自反的，若，则，于是，是对称的。
若且，则，两式相乘，由此得，是传递的。
21. 设，试判断a上的关系和是否为等价关系，若是，则写出集合a中每个元素生成的等价类。
解答与分析：根据等价关系的定义，判断关系是否同时具有自反、对称，和传递性；求等价关系的等价类，可有定义求出。是等价关系，应为它具有自反性、对称性和可传递性，不是等价关系，不满足传递性。
对于元素a，因为，所以a生成的等价类；对于元素b，因为，所以b生成的等价类。类似地，。
22. 设，判定下列各集合是否是s的一个划分：
解答与分析：根据划分的定义，不是，因1属于中的两块；因4属于s但不属于中的任何一块，所以不是；是s的一个划分。不是，因不是s的子集。
23 求集合的所有划分。
解答与分析：a的每个划分可以含有1个、2个、3个或4个不同集合，这些划分是：
a共有15个划分。
24．考虑任务集t, 它包含了拍摄一张室内闪光**必须按顺序完成的任务，包括第一步，打开镜头盖；第二步，照相机调焦；第三步，打开闪光灯；第四步，按下快门按钮。在t上定义关系r如下：当且仅当或者任务必须在任务之前完成。
判断r是否是偏序关系，并画出关系图。
第二章习题
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