1 设随机变量x的概率密度为。
求（1）y=2x （2）y=e－2x的数学期望。解：（1）
2 设（x，y）的分布律为。
1) 求e (x)，e (y )。
2) 设z=y/x，求e (z )。
3) 设z= (x－y )2，求e (z)。
解：（1）由x，y的分布律易得边缘分布为。
e(x)=1×0.4+2×0.2+3×0.4
e(y)= 1)×0.3+0×0.4
e (z )=1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1
e (z )=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=5
3 设随机变量x1，x2的概率密度分别为。
求（1）e (x1+x2)，e (2x1－3)；（2）又设x1，x2相互独立，求e (x1x2)解：（1）
4 设随机变量x服从指数分布，其概率密度为其中θ>0是常数，求e (x )，d (x )。解：又。
d (x )=e (x 2 )－e 2 (x )=2θ2－θ2=θ2
5 设x1, x2 ,…xn是相互独立的随机变量且有，i=1,2,…,n.记，.（1）验证（2）验证。（3）验证e (s 2 )
证明：（1）
利用数学期望的性质2°，3°)
(利用方差的性质2°，3°)
2）首先证。于是。
6 设x～n（μ，2），y～n（μ，2），且x，y相互独立。试求z1= αx+βy和z2= αx－βy的相关系数（其中是不为零的常数）.
解：由于x，y相互独立。
cov(z1, z2)=e(z1,z2)－e(z1) e(z2)=e (αx+βy ) x－βy )－ex+βey ) ex－βey )
=α2ex 2－βey 2－α2 (ex ) 2+β(ey ) 2=α2dx－β 2dy=(α2－β 2) σ2
dz1=α2dx+β 2dy=(α2+β 2) σ2, dz2=α2dx+β 2dy=(α2+β 2) σ2,利用数学期望的性质2°3°)
故。7 对于两个随机变量v,w若e(v2 )e (w2 )存在，证明[e (vw)]2≤e (v2 )e (w 2 )这一不等式称为柯西施瓦兹（cauchy-schwarz）不等式。
证明：由和关于矩的结论，知当e (v2 ),e (w 2 )存在时e (vw)，e(v ),e(w ),d (v ),d (w ),都存在。当e (v2 ),e (w 2 )至少有一个为零时，不妨设e (v2 )=0，由d (v )=e (v2 )－e (v )]2≤e (v2 )=0知d (v )=0，此时[e (v )]2 = e (v2 )=0即e (v )=0。
再由方差的性质知p (v=0)=1.又故有p (vw=0)=1.于是e(vw )=0，不等式成立。
当e (v2 )>0，e (w 2 )>0时，对。
有e (w－tv )2 = e (v2 ) t2－2 e(vw )t+ e (w 2 )≥0.(*
*)式是t的二次三项式且恒非负，所以有=[－2 e(vw )]2－4 e (v2 ) e (w 2 ) 0
故cauchy-schwarz不等式成立。
第三章作业答案
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第三章作业答案
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