a．小球落到地面时相对于a点的水平位移值为2
b．小球落到地面时相对于a点的水平位移值为2
c．小球能从细管a端水平抛出的条件是h>2r
d．小球能从细管a端水平抛出的最小高度hmin＝
解析：当小球从h＝2r处落下，到a点速度为0，落点距a水平距离为0；取h＝4r，小球到达a点处有mv2＝2mgr，v＝2， gt2＝2r，t＝，对照a、b项代入h＝4r，知b项对；竖直平面内小球在管道中过a点的最小速度为0，根据机械能守恒知，小球要从a点水平抛出，则需要h>2r.答案：
bc5．(双选，2011 年广东卷)如图 1－3－4 所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面 h 处，将球以速度 v 沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为 l，重力加速度取 g，将球的运动视为平抛运动，下列表述正确的是( ）
a．球的速度v等于l
b．球从击出至落地所用时间为。
c．球从击球点至落地点的位移等于l
d．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关。
解析：小球在水平方向和竖直方向运动时间相同，由平抛运动规律列方程：l＝vt、h＝gt2，求出a、b正确；由直角三角形知识得，小球运动的位移大于l，c错误；小球运动的合位移由高度和水平速度决定，与质量无关，d错误．
6．(双选，2011 年广东卷)已知地球质量为 m，半径为 r，自转周期为 t，地球同步卫星质量为 m，引力常量为 g.有关同步卫星，下列表述正确的是( ）
a．卫星距离地面的高度为。
b．卫星的运行速度小于第一宇宙速度。
c．卫星运行时受到的向心力大小为g
d．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度。
解析：同步卫星绕地球做匀速圆周运动的过程中万有引力提供向心力，设卫星距离地面的高度为h，由g＝m (r＋h)，可以得到h＝－r，故a错误；卫星运行受到的向心力由万有引力充当，即f向＝g，c错误；第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，由g＝m＝ma，得卫星运行速度v＝、卫星运行的向心加速度a＝，可见当卫星绕行半径r增大时，v与a都要减小，所以b、d正确．
从近三年的高考试题可以看出，曲线运动、曲线运动的条件及其应用历来是高考的重点、难点和热点，它不仅涉及力学中的一般的曲线运动、平抛运动、圆周运动，还常常涉及天体运动问题，带电粒子在电场、磁场或复合场中的运动问题，动力学问题，功能问题等．圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。本讲知识多以现实生活中的问题(如体育竞技，军事上的射击，交通运输等)、空间技术(如航空航天)等立意命题，体现了应用所学知识对自然现象进行系统的分析和多角度、多层次的描述，突出综合应用知识的能力．本讲高考几乎年年有新题，那么“新”在什么地方呢？“新”主要表现在：
情景新、立意新、知识新、学科渗透新，新题虽然难度往往不大，但面孔生疏．难题和新题都要有丰厚的基础知识、丰富的解题经验和灵活的解题能力．预计在今后的高考中运动的合成与分解、平抛运动和圆周运动的规律及应用、人造卫星和宇宙飞船仍是高考的热点．
核心1：运动的合成与分解。
例1】(2023年上海卷)如图 1－3－5 所示，人沿平直的河岸以速度 v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为( ）
a．vsin α b. c．vcos α d.
答案：c对应训练】1．水平面上两物体 a、b 通过一根跨过定滑轮的轻绳相连，现物体 a 以 va 的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面的夹角分别是α、β时(如图 1－3－6 所示)，物体 b 的运动速度 vb 为(物体 b 不离开地面，绳始终有拉力)(
a. b. c. d.
解析：两物体沿绳子方向的分速度大小相等，故有vacos α＝vbcos β，得vb＝.
核心2：天体公转模型。
例2】(2012 年安徽卷)我国发射的“天宫一号”和“神舟”八号在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为 350 km，“神舟”八号的运行轨道高度为 343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则( ）
a．“天宫一号”比“神舟”八号速度大 b．“天宫一号”比“神舟”八号周期长。
c．“天宫一号”比“神舟”八号角速度大 d．“天宫一号”比“神舟”八号加速度大。
答案：b针对训练】2．(2023年天津卷)一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的( )
a．向心加速度大小之比为 4∶1 b．角速度大小之比为 2∶1
c．周期之比为 1∶8d．轨道半径之比为 1∶2
答案：c核心3：天体自转模型。
例3】(2023年新课标卷)假设地球是一半径为 r、质量分布均匀的球体．一矿井深度为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
a．1b．1＋ cd.
解析：物体在地面上时的重力加速度可由mg＝得出．根据题中条件，球壳对其内部物体的引力为零，可认为矿井部分为一质量均匀球壳， 故矿井底部处重力加速度可由mg′＝得出故＝.答案：a
针对训练】3．(2012 年福建卷)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为 n，已知引力常量为 g，则这颗行星的质量为( ）
a. b. c. d答案：b
核心4：重力场中的曲线运动。
例4】(2023年深圳高级中学模拟)如图 1－3－7 所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在 a 点，自然状态时其右端位于 b 点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道 mnp，其形状为半径 r＝0.8 m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，mn为其竖直直径，p 点到桌面的竖直距离也是 r.用质量为 m1＝0.
4 kg 的物块将弹簧缓慢压缩到 c 点，释放后弹簧恢复原长时物块恰好停止在 b 点．用同种材料、质量为 m2＝0.2 kg 的物块将弹簧缓慢压缩到 c 点释放，物块过 b 点后其位移与时间的关系为 x＝6t－2t2，物块飞离桌面后由 p 点沿切线落入圆轨道．取 g＝10m/s2，求：
1)bp 间的水平距离；(2)判断 m2 能否沿圆轨道到达 m 点；(3)释放后 m2 运动过程中克服摩擦力做的功．
解：(1)设m2由d点以初速度vd做平抛运动，落到p点时其竖直速度为vy＝；根据题意有＝tan 45°，得 vd＝4 m/s
平抛运动时间为t，水平位移为s，则r＝gt2，s＝vdt，得s＝2r＝1.6 m
m2过b点后其位移与时间的关系为x＝6t－2t2，利用类比法可得：m2在桌面上过b点后初速度v0＝6 m/s, 加速度 a＝－4 m/s2，减速到 vd，则bd间位移为s1＝＝2.5 m
则bp水平间距为s＋s1＝4.1 m.
2)若m2能沿轨道到达m点，其速度为vm，则有m2v＝m2v－m2g·r
轨道对m2的压力为fn，则 fn＋m2g＝m2
联立上述两式解得fn＝(1－)m2g<0，所以m2不能到达m点．
3)设弹簧长为ac时的弹性势能为ep，物块与桌面间的动摩擦因数为μ.释放m1时，ep＝μm1gscb
释放m2时，ep＝μm2gscb＋m2v，且m1＝2m2，解得ep＝m2v＝7.2 j
设m2在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为wf，则ep－wf＝m2v，得wf＝5.6 j.
针对训练】4．(2012 年福建卷)如图 1－3－8 所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径 r＝0.5 m，离水平地面的高度 h＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.
4 m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度 g＝10 m/s2.求：
1)物块做平抛运动的初速度大小 v0；
2)物块与转台间的动摩擦因数μ.
解：(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有h＝gt2
在水平方向上有s＝v0t ② 由①②式解得v0＝s＝1 m/s.③
2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有fm＝④
fm＝μn＝μmg⑤ 由③④⑤式解得μ＝，0.2.
核心5：复合场中的曲线运动。
例5】如图 1－3－9 所示，在绝缘光滑水平桌面上有两个静止的小球 a 和 b，b 在桌面边缘．a 和 b 均可视为质点，质量均为m＝0.2 kg. a 带正电，电荷量为q＝0.
1 c．b 是绝缘体，不带电．桌面离地面的高度h＝0.05 m．开始时a、b相距l＝0.1 m．在方向水平向右、大小 e＝10 n/c 的匀强电场的电场力作用下，a 开始向右运动，并与 b 发生碰撞．碰撞中 a、b 的总能量无损失，a 和 b 间无电荷转移，取 g＝10 m/s2.
求：1) a 经过多长时间和 b 相碰？(2) a、b 落地点之间的水平距离是多大？
答题规范](1)a在电场力的作用下做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a，经过时间t与b发生第一次碰撞，则由牛顿第二定律有qe＝ma
得a＝＝5 m/s2
由运动学公式l＝at2得t＝＝0.2 s.
2)设a与b发生碰撞前速度为va1，碰撞后a的速度为va2，b的速度为vb2，则。
va1＝at ① 由动量守恒得mva1＝mva2＋mvb2
由能量守恒得mv＝mv＋mv ③ 由①②③式解得va2＝0，vb2＝1 m/s
即a与b发生碰撞后，b做平抛运动，a在竖直方向上做自由落体运动，在水平方向上做初速度为零的匀加速运动，a与b的运动时间相等，设时间为t1，在这段时间内a、b在水平方向发生的位移分别为sa和sb，则。
h＝gt ④ sa＝at ⑤ sb＝vb2t1 ⑥ a、b落地点之间的距离为x＝sb－sa ⑦
由④⑤⑥式解得x＝0.075 m.
针对训练】5．(2012 年汕头二模)如图 1－3－10 所示，绝缘的光滑圆弧曲面固定在竖直平面内，b 为曲面最低点．曲面上的 a 点与曲面圆心o的连线与竖直方向成夹角θ＝37°.曲面所在区域和b点左下方的区域内都存在电场强度大小为 e 的匀强电场，方向分别是水平向右和竖直向上．开始时有一质量为 m 的带电小球处于 a 点恰好保持静止．此后将曲面内的电场撤去，小球沿曲面下滑至 b 点时以大小为 v0 的速度水平抛出，最后落在电场内地面的p点，p点与b点间的水平距离为 l.已知 tan 37°＝0.
75，重力加速度为 g，求：小球的带电性及电荷量 q. (2)小球运动到 p 点瞬间的速度 vp 的大小．
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