课后作业处理

挖掘埋藏在课本中的宝藏。

—谈课后习题的使用与拓展。

汤敬鹏(兰州市57中学，730070)

在教辅材料大行其道的今天，我们发现有一些教师在平时教学中并不太愿意使用教材中的课后习题，他们觉得课后习题难度不大，对学生的训练价值不高，相比之下，他们更喜欢使用有一定难度的课外教辅材料。对于这种做法，笔者不敢苟同，笔者认为，课后习题是一种重要的教学资源，它是教材编写者经过认真思考，精心选择与编写而成的，它们具有很强的针对性与较高的训练价值，课后习题其实是埋藏在课本中的宝藏。作为教师，不仅要使用课后习题，更要精心处理课后习题，使课后习题的教育价值得到充分的发挥。

笔者现就人教版普通高中数学教材(以下简称“教材”)中课后习题的使用，谈谈自己的看法，本文所用例题均为教材中的课后习题。

1.1利用课后习题纠错示错，巩固数学双基。

每节课后的习题，都针对本节所学内容而编制，具有很强的针对性与基础性，课后作业有助于学生加深对新学概念的理解，有助于学生对所学知识进行应用，一些习题中还针对学生可能产生的知识误区或知识盲点，埋藏有知识“陷阱”，这样可以帮助学生从反面理解概念，或提醒学生关注其盲点。教师要善于利用这些习题，帮助学生从正反两方面掌握概念、夯实基础。

例1：在等比数列中，已知， ,求a1与q

学生在解答这道习题时，首先会想到用等比数列求和的公式及等比数列通项公式来求解，但初次使用公式时，学生往往会忽略等比数列求和公式有q≠1的限制，从而引起解答的错误，教师在讲评作业时，先要提醒学生注意这个限制条件，做题时首先要判断这个等比数列是否为非零常数列，若是，则需使用sn=na1来进行计算；之后，教师要提出问题，这种已知sn，求a1和q的问题，是否可以不按q=1和q≠1进行分类讨论，进而指出，利用数列求和定义：sn=a1+a2+…+an解决这类问题，可以避开讨论。

解：∵ 解得q=1或。

当q=1时，；当时，

教师不仅要引导学生对自己的错误进行反思，还要引导学生去发现课本习题编制的不完善或错误之处，这不仅使学生的基础进一步得到巩固，还能培养学生形成质疑反思的意识。

例2：已知：，求证：

学生在做这道习题时，往往不假思索地进行证明，在作业讲评时，教师可提出如下问题：f(-5)+f(3)=f()成立吗？以引导学生去发现这道习题存在的问题。

学生在计算定义域后，发现此题应给出a、b的范围，使得a、b、在定义域(-1, 1)内。通过此题，学生进一步认识到解决函数问题先求函数定义域的重要性。

1.2借用课后习题铺垫，形成引燃新知的导火索。

新知识既可以为了解决新问题而产生，也可以由与旧知识的联系而产生。借助以前章节的课后习题引入新课，可以使学生在熟悉的背景中感知学习新知识的必要性；而利用新课后的课后习题引入新课，之后再加以解决，可使教学前后呼应，从而激发学生的学习热情，提高教学的效率。

例3：在学习椭圆的参数方程这一知识时，可以先让学生做前一章的复习参考题中的一道习题：用描点法画出下列参数方程(θ为参数)表示的图形：

学生作图后可以发现图形是一个椭圆，这时可以引导学生结合同角正、余弦的平方关系消参，得到椭圆的标准方程，学生从而知道，这种参数方程表示的是椭圆，之后给出课本中的例题(用同心圆画椭圆)，通过对例题的分析，可以得到动点p的坐标满足参数方程，由于前面习题的铺垫，学生立即发现p点的轨迹是一个椭圆，这样，学生较为轻松地获得了有关椭圆参数方程的知识。

1.3探寻习题间的联系，整合学生的知识体系。

单独一道数学习题的教育功能也许并不很大，但如果能够将多道习题串珠成线，形成题组，让学生探寻其中的联系，学生将体会其中蕴涵的特殊与一般、抽象与具体、相互转化等种种关系，那么数学习题的教育功能将成倍增长。

例4：在“直线与圆的方程”一节的复习课中，教师可将本章各节及复习题中的下列课后习题串联成题组供学生使用。

求经过两条曲线x2+y2+3x-y=0和 3x2+3y2+2x+y=0交点的直线的方程；

两条曲线的方程是f1(x,y)=0和f2(x,y)=0，它们的交点是p(x0,y0)，求证：方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0的曲线也经过点p(λ是任意实数)；

经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程；

经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程；

经过两条直线y=2x+3和3x-y+2=0的交点，且垂直于第一条直线的直线方程；

直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x-y=10相交于一点，求a的值。

求证：不论m取任何实数，方程(3m+4)x+(5-2m)y+7m-6=0所表示的曲线必经过一个定点，并求出这一点的坐标；

求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程；

求两圆x2+y2-10x-10y=0，x2+y2+6x+2y-40=0的公共弦的长；

判定两圆x2+y2-6x+4y+12=0，x2+y2-14x-2y+14=0是否相切；

在练习时，学生先用求交点及直线方程的两点式求得习题⑴的答案，随后教师要引导学生观察所得直线方程与两圆方程相减后所形成的方程是相同的，从而引发学生思考为什么会出现这样的情况，是偶然的，还是必然的？之后再给出习题⑵，两道习题相结合，在教师的引导下，学生自然而然地产生了过两条曲线的交点的曲线系的知识，并能意识到习题⑴是λ=-1的情形，从而总结出相交两圆的公共弦方程就是两圆方程相减消去二次项后所得的方程。之后，给出习题⑶—⑼对学生刚形成的新知识进行应用，其中习题⑼可先由两圆的方程相减，求出公共弦方程，再利用点到直线的距离公式、垂径定理及勾股定理加以解决。

习题⑽可先由两圆的方程相减，求出直线方程，再求出两圆圆心到直线的距离，由距离与半径的关系可以判断出两圆都与直线相切，又由于两圆的连心线与直线垂直，因此两圆相切，由习题⑽学生可以得出结论：当两圆相切时，两圆方程相减所得的直线方程就是两圆的公切线方程。

以上各题学生在平时作业中已经完成过，在复习课中再次出现，既是一次复习，更是一次提升，因为这时学生不仅使用了与过去不同的方法，而且获得了新知。另外，以题组来整合知识，可以引导学生以整体的眼光去审视所学的内容，这对整合学生的知识是非常有帮助的。

1.4深入挖掘习题隐藏的价值，开发新的**点。

奥加涅相说：“必须重视，很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可能性……“如果教师能够做为一名有心人，认真地对课后习题进行研究，那么他一定会发现，许多课后习题经过增减条件、改变结论、抽象具体化等方法的改造，都能使它的教育价值得到进一步地扩展。特别是在高考总复习中，对课后习题进行开发与改造，往往可以起到事半功倍的作用，使高考复习更有效率。

例5：我们可以利用例2中的习题进行拓展，提出问题链：

求f(0)；⑵求y=f(x)的定义域；⑶y=f(x)是奇函数还是偶函数？⑷y=f(x)具有怎样的单调性？

前四个问题属于常规问题，通过解决这四个问题，学生可以知道f(0)=0，这个函数的定义域是(-1,1)，它是一个奇函数，在定义域内为减函数，这四个问题是为后面问题做的铺垫。接着对问题抽象化：

已知函数y=f(x)的定义域为(-1,1)，对于定义域内的任意x、y，均满足，①求f(0)；②判断函数的奇偶性；

由于有了前四个问题的铺垫，学生较容易猜测出问题⑸的结论，并且较为轻松地加以解决。

解：①令y=0，则有 ∴f(0)=0

令y=-x，则有f(x)+f(-x)=f(0)=0 ∴y=f(x)是奇函数。

之后，再提出开放性问题：

能否判断这个函数的单调性？若能，请说明这个函数的单调性；若不能，试加入一些条件使它有确定的单调性；

在进行这个问题的**时，教师先引导学生复习判断函数单调性的方法：①利用定义；②使用导数；③借助图象；④复合函数单调性判断方法——同增异减。由于这个函数既没有函数解析式，又没有图象，因此只能使用定义来判断单调性。

大部分学生都能想到：先设-10时，f(x)>0；或当x>0时，f(x)<0；也有学生提出可加入以下条件：对于定义域内的任意x、y，均有当时，；还有学生提出将定义域改为，并加入条件当x>0时，f(x)>0；或当x>0时，f(x)<0。

对问题一般化，还可提出下列问题：

若(m>0)，则f(a)+f(b)=

解：令a=mc，b=md，则，

f(a)+f(b)=

若(a>0，b>0，且a≠b)，问函数y=f(x)的图象是否为中心对称图形？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由。

解：令x=x’+，则f(x)=g(x’)=

由于y=g(x’)的图象关于原点对称，而y=f(x)的图象是由y=g(x’)的图象向左或向右平移而得到，因此，y=f(x)的图象是中心对称图形，其对称中心为(，0)

通过对这道作业题的延伸与拓展，学生既巩固了基础知识，又拓展了思维，同时也进一步掌握了抽象函数问题的解答方法，课堂教学效率很高。

1.5直击高考试题，显露课后习题的母题本源。

高考的宗旨是“源于教材，高于教材”，给教学带来的启示是，我们在高考复习以及平时的教学中，与其到处寻找各种各样的资料，不如在课后习题的处理上下足功夫。教学中，教师必需很好地处理每一道课后习题，深入挖掘其教育价值，将其中一些习题的高考母题本源显露出来，引导学生重视对课本的使用。

例5：在椭圆上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。

教师可针对此题专门进行一堂习题课教学。教学时，教师可先引导学生探寻解题的方法。可获得以下方法：设p(x,y)为所求的点，f1、f2为焦点。

方法1：可以利用直线pf1与直线pf2的斜率乘积为-1，及p在椭圆上求出p点的坐标；

方法2：利用与的数量积为0，及p在椭圆上求出p点的坐标；

方法3：利用勾股定理可得，再利用两点距离公式及p在椭圆上求出p点的坐标；

方法4：p在以f1f2为直径的圆上，利用此圆的方程与椭圆方程联立可求出p点的坐标；

方法5：利用椭圆定义知pf1+pf2=，又知，可求得的值，再利用△f1pf2的面积可求出p点的纵坐标，代入椭圆方程即可求得p点的横坐标；

方法6：利用焦半径公式及勾股定理可求出p点的横坐标，再代入椭圆方程即可求得p点的纵坐标。

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