模拟试题选讲（微积分部分）
1.设， ，则（ ）
知识点：分段函数的复合。
2.设函数在内可导，且对，有，则（ ）
对有对有。单调增加单调增加。
知识点： 1）函数单调性判别条件的充分性与必要性；（2）、与的图象关于坐标轴的对称性。
3.设在处连续，且对一切，恒有。
证明在内连续。
知识点：用定义证明函数的连续性；
4．若，其中，则 。
知识点：极限类型的判定及等价无穷小替换。
5. 设在处连续，且则 。
知识点： 1）极限类型的判定及等价无穷小替换；（2）连续性在求极限中的应用；（3）用定义求函数在一点处的导数。
6. 设的导数连续，，且当时与是等价无穷小，则（ ）
知识点： 1）用极限表示等价无穷小；（2）变上限函数求导（类型2）；（3）用定义求函数在一点处的导数；（4）抽象复合函数求导的方法。
7.设，存在且不为零，则（ ）
知识点： 1）用定义求分段函数在分段点处的导数；（2）罗必塔法则；（3）变上限函数求导（类型）。
8.设，其中具有连续的一阶导数，。（1）求，使连续；（2）讨论的连续性。
知识点： 1）分段函数连续性的判定；（2）分段函数导数的求法；（3）罗必塔法则及变上限函数求导。
9.设有连续的导数，且在点处有，则。
知识点： 1）函数“可微”定义表达式的含义；（2）罗必塔法则以及等价无穷小替换；（3）变上限函数求导（类型2）；（4）连续性在求极限中的应用。
10.有连续的二阶导数，且，则（ ）
是的极大值是的极小值。
不是的极值是否极值不能判定。
知识点： 1）罗必塔法则使用的条件； （2）根据极限类型确定部分极限值的方法；（3）判定极值的第二充分条件。
11.设在的某邻域内有连续的二阶导数，且，则（ ）
是的零点。是的极值点。
当时，为拐点。
当时，为拐点。
知识点： （1）零点与极值点的判定；（2）判定拐点的充分条件；（3）左右极限与保号性的应用。
12. 设二阶可导，如果既有极值又有拐点，则的图象可能是（ ）
知识点： 1）读图要领：值的正负、单调性、零点、极值点；（2）判定极值拐点的充分条件。
13.讨论为何值时在其定义域内的零点个数分别为个。
知识点： 1）函数图象的描绘；（2）参数对曲线与轴交点个数的影响。
知识点： 1）数列极限向函数极限的转化； （2）幂指函数极限的求法；（3）型极限的倒代换以及多层复合函数求导。
15.曲线的斜渐近线是 。
知识点： 1）求斜渐近线斜率与截距的公式； （2）求极限的裂项法、等价无穷小替换或倒代换。
16.设，证明方程。
在内至少有一个实根。
知识点： 对原函数运用罗尔定理证明方程有根。
17. 设在上连续，在内可导，且，证明至少存在一点，使 （为常数且）
知识点： 用罗尔定理证明含等式时构造辅助函数的乘因子法。
18. 设在上连续，在内二阶可导，且。
证明至少存在一点，使。
知识点：（1）运用各种方法从已知关系式中挖掘隐藏的条件（根据极限类型求值、罗必塔法则、积分中值定理、罗尔定理等）；（2）将看作一个整体构造辅助函数的方法。
19.（课后练习）某商品的成本函数与需求函数分别为。
其中为正常数，且，求。
1）利润最大时的产量及最大利润；（2）需求弹性；（3）时的产量。
知识点：（1）最大利润问题；（2）需求弹性的计算；（3）符号运算。
20. 某商品定价1元时，每月销售20000件；定价1.5元时，每月销售15000件；若需求函数是线性的，且固定成本为10000元，可变成本为0.8元/件，求。
1）边际利润函数；（2）**为何值时边际利润为零；（3）**时的利润。
知识点：1）需求、收益、成本、利润等函数的建立；（2）边际函数的求法及相关的计算。
21.若是的一个原函数，则。
知识点：“是的一个原函数”的三种数学表达式及其应用。
知识点： 1）含的积分，常与相乘转化； （2）分段函数积分的区间可加性。
23.设，求。
知识点： 1）广义积分的计算方法； （2）型极限的运算；（3）典型积分的计算方法（换元与分部）。
24. 设满足且，则 。
知识点： 1）函数“可微”定义表达式的含义；（2）凑微分法与积分公式的应用。
25.设为连续正值函数，证明时函数单调增加。
知识点：1）判别单调性的充分条件及变上限函数求导（类型1）；（2） 商的求导法则；（3）定积分的保号性；（4）含参变量定积分的处理方法。
26. 设是内单调增加的奇函数，则是（ ）
单调增加的非奇非偶函数单调减少的非奇非偶函数。
单调增加的奇函数单调减少的奇函数。
知识点：（1）变量替换可将变上限函数类型4化为类型3；（2）判别函数奇偶性的各种结论；（3）变上限函数的单调性及积分中值定理；（4）在上要讨论与两种情况。
27.设，求。
知识点：1）定积分换元法；（2）确定函数表达式中未知常数的“假设、循环利用假设”方法；（3）公式的应用。
28.曲线与轴所围图形面积可表示为（ ）
知识点：（1）三次曲线的形状；（2）曲边梯形面积的表示方法。
29. 设曲线与该曲线在点处的法线以及轴所围图形面积为，则绕轴旋转一周所成旋转体体积为（ ）
知识点： 1）法线方程的求法；（2）旋转体体积的求法。
30.设在上连续且单调增加，证明对任意的，有。
知识点： 1）通过构造辅助函数并研究其单调性的方法是证明定积分不等式的常用方法；（2）比较定积分和代数式的大小，常用积分中值定理。
31. 设在全平面上，则当（ ）时可使。
知识点： 偏导数的几何意义。
32.设，其中可导，求。
知识点：外层一元、内层多元的抽象复合函数的一阶偏导数求法。
33.若均可微，，则。
知识点：外层、内层均为多元的抽象复合函数的一阶偏导数求法及链导法则的使用。
34.设，其中可微，则。
知识点：（1）抽象隐函数的一阶偏导数求法及链导法则的使用；（2）全微分求法。
35. 设可微，。若，则（ ）
知识点：外层多元、内层一元的抽象复合函数的一阶偏导数求法及链导法则的使用，且本题中的等价于。
36.设由确定，求。
知识点：（1）求多元隐函数一阶偏导数的公式法与二阶偏导数的直接求导法；（2）变上限函数的导数（类型1）。
37. 某土地拥有者拥有一块100亩的土地，该土地可以平均分成块出租给农户。若每块土地的大小为，则要吸引农户耕种需满足关系，其中是每块土地上收取的地租。
问应将土地分成几块出租可使租金总额最大？此时每块土地的大小为多少？
知识点：条件极值与拉格朗日乘数法。
要点：首先分析影响租金总额的因素（土地大小和单位租金），然后确定目标函数和约束条件。
38.若是以、、为顶点的三角形区域，则（ ）
知识点：（1）积分区域的“分割术”：化整体不对称为局部对称，以便利用被积函数的奇偶性；（2）二重积分性质（的面积）的应用。
39. 计算，由、与围成。
知识点：1）积分区域的“挖补术”：化不规则为规则；（2）各类圆域的极坐标表示法及极坐标系下二重积分的计算。
40. 求通解：
知识点：1）齐次方程的解法；（2）对以为未知函数的微分方程分离变量时，要在分母不为零的情况下求通解，并单独讨论分母为零时方程还有哪些解（可利用）。
41.若可导，且满足，则。
知识点：1）含变上限函数的方程（积分方程）求导可化为微分方程；（2）一阶线性齐次微分方程的通解公式；（3）在原积分方程中给取值，使积分上下限相等，可得到微分方程的初始条件。
42. 若可导函数在满足，且，求。
知识点：1）含参变量积分的转化（作代换）；（2）积分方程求导可化为微分方程；（3）一阶线性非齐次微分方程通解公式的运用及特解的求法。
43. 若在可导，且对满足，其中是时与等价的无穷小量。若，求。
知识点：1）等价无穷小量的极限表达式；（2）函数连续的充要条件：；（3）一阶线性非齐次微分方程通解公式的运用及特解的求法。
44.数项级数（ ）
发散条件收敛绝对收敛敛散性不能确定。
知识点：1）通项的分子分母均含有的处理方法；（2）级数敛散性判别法。
45.求幂级数的收敛域与和函数。
知识点：和函数的求法。
泰勒公式在求极限中的应用。
要点 ：牢记下列几个用高阶无穷小表示余项的常用函数的泰勒公式，理解其中余项的作用并灵活运用。
其中是当时比高阶的无穷小量。
例1. （注：此题需要用4次罗必塔法则方可求解，且较繁琐）
例2.（2006.三、四）试确定常数的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小。
方法1：连续运用罗必塔法则，并根据极限类型判断各系数应满足的关系式。此方法计算量大，较繁琐；方法2： 写出的极限表达式，并将用三阶泰勒展开式替代。）
例3. 当时，把无穷小量。
按从低阶到高阶的正确排列顺序是（ ）
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