设图g的次数序列是d1，d2…….dv ，且此序列单调下降，即 d1≥d2≥….dv ，则：
解答思路：原题等价于证明：存在k，使得χ(g)≤min(dk+1,k)
若dk+1≥k，设di是顶vi的次数，则先用k种颜色对v1，v2… vk顶做正常着色。
对任意的m>k，有k≥min,可知k≥dm+1，所以vk+1，vk+2…vv可被k正常着色。
若dk+1可知dk+1 >min ，又因为dk≥k-1,所以dk+1≥k-1,推出 dk+1 = k-1.
设di是顶vi的次数，则先用k-1种颜色对v1，v2… vk-1顶做正常着色。
对任意m>k-1,有k-1= dk+1 ≥dm+1，所以vk+1，vk+2…vv可被k-1正常着色。
a是一个n元素集合，把a的每个子集用油n个分量的0-1向量α来表示；设a=，一子集中含有元素ai，则α的第i个分量取1，否则取0，以所有的0-1向量α为顶集，仅当上述的两个向量只有一个同为向量相异时，在此二项间连一边，得到的图叫做n维立方体图。
问：χ(n维立方体图n维立方体图)=?
解题思路：n维立方图可以看做由2个n-1维立方图以及对应顶点的连接所构成，由数学归纳法可以求出χ(gn)=2
(g2)=2， 假设χ(gn-1)=2 ，则将原gn-1着色的2种颜色互换，然后再将两gn-1连接即得顶着色为2的gn
同样可用数学归纳法求出χ’(gn)=n
’(g2)=2 ,假设χ’(gn-1)=n-1，则将两同样边着色的gn-1用第n中颜色连接，即得边着色为n的gn .,
求α(k维立方体) ，k维立方体)
解题思路：设k维立方体为gk .
(g2)=4 ，αg3)=8 ，用数学归纳法可求α(gk)= gk)=2k-1
ps：有的同学说gk可看做个k则二分图，也是可以的。例如当k=3时：,
求证：对g的任子图h， 当且仅当g是二分图。
解题思路：
若g是二分图，则g的子图h也是二分图，设顶集x和y是h的二分子集，则，所以。
若对g的任意子图有，且g不是二分图，取g中的奇圈作为子图h’，则。
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