(6) 2024年变式设计新题型。
1.如图1，设p、q为△abc内的两点，且则△abp的面积与△abq的面积之比为 ( b )
abcd.
图1图2解：如图2,设， ,则，由平行四边形法则知np∥ab，所以=，同理可得。
故，即选b.
2.设x>1，s=min｛logx2，log2（4x3）｝,则s的最大值为 3 .
解：由题设知s logx2，s log2（4x3），且s>0,则s log2（4x3）=2+3log2x=2+2+，于是s2-2s-30,得-1s3.
当x=时取等号。
3.在直角坐标系xoy中，已知点a(0,1)和点b(-3,4)，c点在ab上且oc是∠aob的角平分线，则= .
解：（-由题设知=（0，1），=3，4）
oc是∠aob的角平分线。
可设=（）又c点在ab上。
所以+=1,解得=
故=+=4．如图，已知△abc是边长为1的正三角形，点d、e分别是边ab、ac上的点，线段de经过△abc的中心g，，（0＜m1,0（1）求证：＝3
2）求△ade的面积的最小值和最大值。
解：（1）如图延长ag交bc与f， g为△abc的中心。
f为bc的中点，则有，
即。d、g、e三点共线。
故＝32）△abc是边长为1的正三角形。
s＝mn由=3，0＜m1,0n=, 即。
s＝mn＝设t=m-则m=t+（）
s=mn=（t++）
易知在为减函数，在为增函数。
t=时，取得最小值，即s取得最小值。
又， 取得最大值是，则s取得最大值。
5．已知，且xy＝1，则的最小值是 （
a、 b、 c、 d、
解：由已知得，所以。
当且仅当，即时，取等号。
故当时，有最小值。
6．手表的表面在一平面上。整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点i到整点（i＋1）的向量记作，则＝ .
解：连接相邻刻度的线段构成半径为的圆内接正12边形。相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角，为30度。
各边向量的长为。 则。共有12个相等项。
所以求得数量积之和为。
7.已知a（2cos,），b（2cos,），c（-1,0）是平面上三个不同的点，若存在，使得，试求的取值范围。
解：由已知，可得。
2cos+1,）=1-2cos,-）
,由=1，得，即，若=-1，则，得，这与a，b两点不重合矛盾，因此， -1，于是，可知0，得，解得3.
8.若对一切r，向量＝（a+cos，2a-sin）的长度不超过2，则实数的取值范围为。
解：依题意，得<2
（）（对任意实数成立）
. 故的取值范围为。
9.设x，y均为正实数，且，则xy的最小值为（ ）
a．4 b．16 c．8 d．24
解：由可化为xy =8+x+y
x，y均为正实数。
xy =8+x+y（当且仅当x=y等号成立）
即xy-2-8
可解得。即xy16,故xy的最小值为16.
故选b.
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