一、填空（每小题4分）
1）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则。
2 .（数。
一、二、三）[数四为：则]
2） 已知为2维列向量，矩阵，.若行列式，则。 （数四）
分析】利用矩阵乘积的行列式运算即可。
详解】，所以 ，而，故。
二、选择题：（每小题4分）
1）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是。
a) 若线性相关，则线性相关。
b) 若线性相关，则线性无关。
c) 若线性无关，则线性相关。
d) 若线性无关，则线性无关。
数。一、二、三、四a ]
解】 记，则。
所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选(ａ)
2）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则 （数。
一、二、三、四）
解】由题设可得，而 ，则有。故应选（ｂ）
评注】（１每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵。
（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系。
三、解答题：
1、（本题满分9分）
已知非齐次线性方程组。
（数。一、二、三）
有3个线性无关的解。
ⅰ）证明方程组系数矩阵的秩；
ⅱ）求的值及方程组的通解。
分析】 （根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（）利用初等变换求矩阵的秩确定参数，然后解方程组。
解】 （设是方程组的3个线性无关的解，其中。
则有 .则是对应齐次线性方程组的解，且线性无关。（否则，易推出线性相关，矛盾）.
所以 ，即。
又矩阵中有一个2阶子式，所以。
因此 .） 因为。
又，则 对原方程组的增广矩阵施行初等行变换，故原方程组与下面的方程组同解。
选为自由变量，则。
故所求通解为。
为任意常数。
评注】 本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖。 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多。
2）（本题满分9分）
设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解。
ⅰ) 求的特征值与特征向量；
ⅱ) 求正交矩阵和对角矩阵，使得。
数。一、二、三）
ⅲ）求及，其中为3阶单位矩阵。（数四）
分析】 由矩阵的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量。将的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵。
详解】 (因为矩阵的各行元素之和均为3，所以。
则由特征值和特征向量的定义知，是矩阵的特征值，是对应的特征向量。对应的全部特征向量为，其中为不为零的常数。
又由题设知 ，即，而且线性无关，所以是矩阵的二重特征值，是其对应的特征向量，对应的全部特征向量为 ，其中为不全为零的常数。
ⅱ) 因为是实对称矩阵，所以与正交，所以只需将正交。
取 ，.再将单位化，得，令 ，则，由是实对称矩阵必可相似对角化，得
ⅲ）由(ⅱ)知，所以。
则。评注】 实际上，由条件“3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3”和“一个特征值是3，两个特征值是0且秩是1”即可得到矩阵。
本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，则要想方设法将题设条件转化为的形式。
3）（本题满分13分）
设4维向量组 ，问为何值时线性相关？当线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。 （数。
三、四）【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数；用初等变换求极大线性无关组。
【详解】记以为列向量的矩阵为，则。
于是当时，线性相关。
当时，显然是一个极大线性无关组，且；
当时，由于此时有三阶非零行列式，所以为极大线性无关组，且。
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