几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。
解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。
一、三种常用解题方法举例。
例1． 如图，在矩形abcd中，以边ab为直径的半圆o恰与对边cd相切于t，与对角线ac交于p，pe⊥ab于e，ab=10，求pe的长。
解法一：（几何法）连结ot，则ot⊥cd，且ot=ab＝5
bc=ot=5,ac==
bc是⊙o切线，∴bc2 =cp·ca.
pc=，∴ap=ca-cp=.
pe∥bc ∴，pe=×5=4.
说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件。
解法二：（代数法）
pe∥bc，∴.
设：pe=x，则ae=2 x ，eb=10–2 x.
连结pb. ∵ab是直径，∴∠apb=900.
在rt△apb中，pe⊥ab，∴△pbe∽△ape
.∴ep=2eb，即x=2（10–2x）.
解得x=4. ∴pe=4.
说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系。
解法三：（三角法）
连结pb，则bp⊥ac.设∠pab=α
在rt△apb中，ap=10cosα，在rt△ape中，pe=apsinα, pe=10sinαcosα.
在rt△abc中， bc=5,ac=.∴sinα=,cosα=.pe=10×=4.
说明：在几何计算中，必须注意以下几点：
1） 注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系。
2） 注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化。
3） 注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用。
二。其他题型举例。
例2.如图，abcd是边长为2 a的正方形，ab为半圆o的直径，ce切⊙o于e，与ba的延长线交于f，求ef的长。
分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质。本题可用代数法求解。
解：连结oe，∵ce切⊙o于e， ∴oe⊥cf ∴△efo∽△bfc，∴，又∵oe=ab=bc，∴ef=fb
设ef=x，则fb=2x，fa=2x–2a
fe切⊙o于e ∴fe2=fa·fb，∴x2=（2x–2a）·2x
解得x=a， ∴ef=a.
例3．已知：如图，⊙o1 与⊙o2相交于点a、b，且点o1在⊙o2上，连心线o1o2交⊙o1于点c、d，交⊙o2于点e，过点c作cf⊥ce，交ea的延长线于点f，若de=2，ae=
1） 求证：ef是⊙o1的切线；
2） 求线段cf的长；
3） 求tan∠dae的值。
分析：（1）连结o1a，o1e是⊙o2的直径，o1a⊥ef，从而知。
ef是⊙o1的切线。
2）由已知条件de=2，ae=，且ea、edc分别是⊙o1的切线和割线，运用切割线定理ea2=ed·ec，可求得ec=10.由cf⊥ce，可得cf是⊙o1的切线，从而fc=fa.在rt△efc中，设cf= x，则fe= x+.
又ce=10，由勾股定理可得：（x+）2= x2+102，解得 x=.即cf=.
3）要求tan∠dae的值，通常有两种方法：①构造含∠dae的直角三角形；②把求tan∠dae的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化）.在求正切值时，又有两种方法可供选择：
①分别求出两线段（对边和邻边）的值；②整体求出两线段（对边和邻边）的比值。
解：（1）连结o1a，o1e是⊙o2的直径，∴o1a⊥ef
ef是⊙o1的切线。
2）∵de=2，ae=，且ea、edc分别是⊙o1的切线和割线。
ea2=ed·ec，∴ec=10
由cf⊥ce，可得cf是⊙o1的切线，从而fc=fa.在rt△efc中，设cf= x，则fe= x+.又ce=10，由勾股定理可得：
（x+）2= x2+102，解得 x=.即cf=.
3）解法一：（构造含∠dae的直角三角形）
作dg⊥ae于g，求ag和dg的值。分析已知条件，在rt△a o1e中，三边长都已知或可求（o1a=4，o1e=6），又de=2，且dg∥a o1（因为dg⊥ae），运用平行分线段成比例可求得dg= 从而tan∠dae=.
解法二：（等角转化）
连结ac，由ea是⊙o1的切线知∠dae=∠acd.只需求tan∠acd.易得∠cad=900，所以只需求的值即可。
观察和分析图形，可得△ade∽△cae，.从而tan∠acd=，即tan∠dae=.
说明：（1）从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性。如本题（2）求cf的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出ce的长。
2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握。
例4.如图，已知矩形abcd，以a为圆心，ad为半径的圆交ac、ab于m、e，ce的延长线交⊙a于f，cm=2，ab=4.
1） 求⊙a的半径；
2） 求cf的长和△afc的面积。
解：（1）∵四边形abcd是矩形，∴cd=ab=4，在rt△acd中，ac2=cd2+ad2，∴（2+ad）2=42+ad2，解得ad=3.
2） a作ag⊥ef于g.∵bg=3，be=ab―ae=1，∴ce=
由ce·cf=cd2，得cf=.又∵∠b=∠age=900，∠bec=∠gea，∴△bce∽△gae.∴，即s△afc=cf·ag=.
例5.如图，△abc内接于⊙o，bc=4，s△abc=，∠b为锐角，且关于x的方程x2–4xcosb+1=0有两个相等的实数根。d是劣弧ac上的任一点（点d不与点a、c重合），de平分∠adc，交⊙o于点e，交ac于点f.
1） 求∠b的度数；
2） 求ce的长。
分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化。
解：（1）∵关于x的方程x2–4xcosb+1=0有两个相等的实数根，δ=4cosb）2-4=0.∴cosb=，或cosb=-（舍去）.
又∵∠b为锐角，∴∠b=600.
2） 点a作ah⊥bc，垂足为h. s△abc=bc·ah=bc·ab·sin600=，解得ab=6
在rt△abh中，bh=ab·cos600=6×=3，ah=ab·sin600=6×，∴ch=bc-bh=4-3=1. 在rt△ach中，ac2+ch2=27+1=28.∴ac=（负值舍去）.
∴ac=.连结ae，在圆内接四边形abcd中，∠b+∠adc=1800，∴∠adc=1200.又∵de平分∠adc，∴∠edc=600=∠eac.
又∵∠aec=∠b=600，∴∠aec=∠eac，∴ce=ac=.
例6. 已知：如图，⊙o的半径为r，ce切⊙o于点c，且与弦ab的延长线交于点e，cd⊥ab于d.
如果ce=2be，且ac、bc的长是关于x的方程x2–3（r–2）x+ r2–4=0的两个实数根。求（1）ac、bc的长；（2）cd的长。
分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得△ecb∽△eac，ac=2bc.又∵ac、bc是方程的两根，由根与系数关系可列出关于ac、bc的方程组求解。
（2）∵cd是rt△cdb的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应。若过c作直径cf，连结af，则rt△cdb∽rt△caf，据此可列式计算。
解：（1）∵ce切⊙o于c，∴∠ecb=∠a.又∵∠e是公共角，∴△ecb∽△eac，，∴ac=2bc.
由ac、bc的长是关于x的方程x2–3（r–2）x+ r2–4=0的两个实数根，∴ac+bc=3（r-2）；ac·bc=r2-4，解得r=6，∴bc=4，ac=8.
2） co并延长交⊙o于f，连结af，则∠caf=900，∠cfa=∠cbd. ∵cdb=900=∠caf，∴△caf∽△cdb，.∴cd=.
说明：（1）这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算；（2）构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试。
例7.如图，△abc内接于⊙o，ab是⊙o的直径，pa是过a点的直线，∠pac=∠b.
1）求证：pa是⊙o的切线；
2）如果弦cd交ab于e，cd的延长线交pa于f，ac=ce∶eb=6∶5，ae∶eb=2∶3，求ab的长和∠fcb的正切值。
解：（1）∵ab是⊙o的直径，∴∠acb=900. ∴cab+∠b=900，又∠pac=∠b，∴∠cab+∠pac=900.即pa⊥ab，∴pa是⊙o的切线。
2） 设ce=6a ,ae=2x,则ed=5a，eb=3 x.
由相交弦定理，得2x·3x=5a·6a ∴x=a. 连结ad.由△bce∽△dae，得。连结bd.由△bed∽△cea，得。
bd=.由勾股定理得bc=，ad=.
.两边平方，整理得，∴（负值舍去）.
ad=.∵fcb=∠bad，∴tan∠fcb= tan∠bad=.
解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用，还特别要注意图形中的隐含条件，在平时的学习中要善于总结归纳，只有这样才能掌握好几何计算题的解法。
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