试卷类型：a
2011届高三原创月考试题四。
数学。适用地区：大纲地区考查范围：集合与简易逻辑、函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、
直线与圆的方程、 圆锥曲线 、直线与平面、简单的几何体
建议使用时间：2023年11月底。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．（理）（2010·湖北八市联考）设全集为，用集合的交集、并集、补集分别表示右边韦恩图中 ⅰ、四个部分为：ⅰ部分：，ⅱ部分：
，ⅲ部分：，ⅳ部分：，其中表示错误的是。
a．ⅰ部分 b．ⅱ部分 c．ⅲ部分 d．ⅳ部分。
1题图（理1题图（文）
文）（2010·滦县一中三模）如图，i是全集，m、p、s是i的高*考#资^源*网3个子集，则阴影部分所表示的高*考#资^源*网集合是 （
a．∩s b．∪s c．∩ d．∪
2．已知数列为等差数列，且，则的值为。
abcd．3. （2010·黄冈中学五月适应性考试）已知直线、和平面、满足，，，则（ ）
a． b．或 c． d．或。
4. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）
a． b． c． d．
5．（2010·淄博二模）已知函数的反函数为，且有，若，，则的最小值为。
abcd．6．（理）（2010·顺义二模）已知向量，且∥，则锐角等于。
abc. d.
文）（2010·深圳市第二次调研）在△abc中，若∶∶∶4∶，则是（ ）
a．直角三角形 b．锐角三角形 c．钝角三角形 d．不能确定。
7．（2010·襄樊五中五月调研）若的图像按照向量平移后得到的图象，则可以是（ ）
a． b． c． d．
8 ．（理）（2010·曲靖一中高考冲刺卷数学(六) ）若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线的离心率为( )
a．2bcd．
文) （2010·襄樊五中五月调研） “双曲线的方程为”是“双曲线的离心率为”的( )
a．充分不必要条件 b．必要不充分条件。
c．充分必要条件 d．既不充分也不必要条件。
9．（2010·湖北二模）如图，在直三棱柱中，＝1，＝2，＝，分别是、的中点，则直线与平面所成的角为 （
a． bcd．
9题图10题图理)
10．（理）（2010·成都三模）如图所示，在正三棱锥中，、分别是、的中点，且，若侧棱则正三棱锥外接球的表面积是 （
a．12π b．32π c．36π d．48π
文) （2010·辽宁卷文）已知是球表面上的点，，，则球的表面积等于（ ）
a． b． c． d．
11．（2010·福州三中五月模拟）若点是以为焦点的椭圆上一点，且，则此椭圆的离心率等于( )
a． b． c． d．
12．（理）（2010·湖北三模）已知函数是奇函数且是r上的增函数，若满足不等式，则的最大值是。
a． b． c． d．
文）（2010·湖南师大附中第二次月考试卷）已知定义在r上的函数满足：对任意∈r，都有成立，且当时， (其中为的导数).设，则三者的大小关系是。
abc. d.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2010·东城一模）海上有、、三个小岛，测得、两岛相距10 nmile，，则、间的距离是n mile．
14．（理）（2010·普陀二模）已知椭圆的参数方程为（），则该椭圆的焦距为。
文）（2010·山东德州一模）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点， 是的中点，若(为坐标原点)，则等于。
15．（2010·隆尧一中四月模拟）若在(-1,+∞上满足对任意，都有， 则的取值范围是 ．
16．（2010·黄冈中学五月适应性考试）给出下列四个命题：①“向量的夹角为锐角”的充要条件是“”；如果，则对任意的、，且，都有；③将4个不同的小球全部放入3个不同的盒子，使得每个盒子至少放入1个球，共有72种不同的放法；④记函数的反函数为，要得到的图象，可以先将的图象关于直线做对称变换，再将所得的图象关于轴做对称变换，再将所得的图象沿轴向左平移1个单位，即得到的图象．其中真命题的序号是请写出所有真命题的序号）
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（10分）（2010·唐山一模）在△abc中，、、分别是角、、所对的边，且 （i）求；
ii）若的最大值。
18．（12分）（2010·合肥二次质检）各项均不为零的数列，首项，且对于任意均有。
i）求数列的通项公式；
ii）数列的前项和为，求证：
19．（12分）（2010·湖北八校第二次联考）如图，在直角梯形中， /当分别**段、上，且时， =3， =4， =2，现将梯形沿折叠，使平面与平面垂直。
（i）证明：直线与是异面直线；
（ii）当直线与平面所成角为30°时，求二面角——的余弦值。
20．（12分）（理）（2010·北京石景山统一测试）已知函数。
i）若，求曲线处的切线；
ii）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
iii）设函数上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。
文）（2010·宝鸡质检（二））已知函数。
i）当=1时，求的单调区间；
ii）求函数上的最小值．
21．（12分）（理）（2010·海淀第二学期期中练习）如图，在三棱柱中，侧面底面，，，且为中点。
i）证明：平面；
ii）求直线与平面所成角的正弦值；
iii）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的。
位置。文) （2010·海淀第二学期期中练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，点，分别为，的中点，且。
（i）证明：平面；
（ii）求三棱锥的体积；
（iii）**段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长，若不存在，说明理由。
22.（14分）（理）（2010·福建普通高中毕业班质量检查）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，且点在轴的射影恰为该双曲线的一个焦点。
i）求双曲线的方程；
ii）命题：“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是”命题中涉及了这么几个要素；给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点，的长度与、两点间的距离的比值。试类比上述命题，写出一个关于双曲线的类似的正确命题，并加以证明；
iii）试推广（ii）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）.
文）（2010·福建普通高中毕业班质量检查）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点（1，2）.
i）求抛物线的方程；
ii）命题：“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是”命题涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点，的长度与、两点间距离的比值。
试类比上述命题，写出一个关于抛物线的类似的正确命题，并加以证明；
iii）试推广（ii）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（不必证明）.
参*** 一、选择题。
1.（理）【答案】d
【解析】ⅳ部分表示的是，即。
文）【答案】c
解析】 依题意，由图知，阴影部分对应的元素具有性质，，，所以阴影部分所表示的高*考#资^源*网集合是（m∩p）∩，选择c .
2.【答案】a
解析】由得：所以，所以，选择a．
3.【答案】d
解析】∵垂直于平面的垂线，∴或，选择d．
4.【答案】a
解析】依题意，设所求双曲线方程为（>0），它的焦点坐标为（,0）,所以，解得=，双曲线方程为，选择a.
5.【答案】c
解析】依题意，a+b=3，=≥选择c.
6.（理）【答案】b
解析】依题意，,为锐角，所以=.
文）【答案】c
解析】依题意，由正弦定理得：=令=，则最大角为， =所以△是钝角三角形，选择c.
7.【答案】b
解析】依题意，,所以=，选择b.
8.（理）【答案】b
解析】抛物线的准线为，即双曲线的左准线为，故=4，所以离心率为。
文）【答案】a
解析】由双曲线的方程为=，但=不一定要求双曲线的方程必为，故选a.
9.【答案】a
解析】取ac中点f，连接df，bf，则易知bf∥de，过f作fh⊥bc于h，则fh⊥平面bcc1b1，则角∠fbh为所求，在直角三角形fhb中，fh=,bf=ac=1，所以∠fbh=30°，选择a.
10.（理）【答案】c
解析】因为mn⊥am，所以sb⊥am，又sb⊥ac，所以侧面三角形为等腰直角三角形，所以sa=sb=sc=2，所以2r=×(2)=6，所以s=π(2r)2=36π.
文）【答案】a
解析】由已知，球的直径为，表面积为，选择a.
11.【答案】a
解析】因为，即pf1⊥pf2，所以|pf1|2+|pf2|2=4c2，又因为所以|pf1|=2|pf2|.由椭圆的定义知：|pf1|+|pf2|=2a，即3|pf2|=2a，即|pf2|=a，代入|pf1|2+|pf2|2=4c2，解得e==.
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