数形结合思想在中学数学中的应用。
摘要。数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合的思想是数学的重要思想之一。
本文将从数形结合思想的重要性，概念，在教学、解题中的应用和培养学生养成应用数形结合思想的好习惯出发，阐述数形结合思想。
关键词：数形结合思想重要性教学解题习惯。
一、 数形结合思想。
1、 数形结合思想的重要性。
数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说过：
“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致。
数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位。关于这一点，查查近年高考试卷，就可见一斑。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍。
2、 数形结合思想的方法。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
二、 数形结合思想在教学中的应用。
数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。
数形结合渗透在中学数学的每个部分，根据数形结合的观点，可以通过对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可利用图形的性质来反映变量之间的相互关系，因此数形结合可以使数和形相互启发、相互补充、相互印证。运用联想不但可以催化数与形的结合，而且可以培养我们的创新思维和创新能力。下面就如何以联想为媒，介绍一些常用的联想策略，以体现数形结合思想在教学中的应用。
1、联想图形的交点。
例1、（04湖南高考）设函数，若则关于的方程的解的个数为（ ）
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
分析：判定方程有几个实根，直接求解难且繁！如能联想图形的交点进行数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。
的对称轴为。
即又。从而作出的图象，可知方程有3个解。
例2、（05上海高考题）设定义域为函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ ）
分析：同上题方法，联想图象的交点，由的图象可知要使方程有7个解，应有有3个解，有4个解。 故选（c）
2、联想绝对值的几何意义。
例3、（03高考）已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为，如果与有且仅有一个正确，试求的范围。
分析：由的结构，联想绝对值的几何意义，进行数形结合，以数助形可巧妙地确定的范围。避免繁琐的运算。
不等式的几何意义为：在数轴上求一点，使到的距离之和的最小值大于1，而到二点的最短距离为，即。
而：函数在上单调递减，即。
由题意可得：
3、联想一次函数。
例4、已知，求证：
分析：本题如直接证明较难，联想一次函数进行数形结合，以数助形。把看成变元，看成常数，构造一次函数。而。又。
又。2）令同理可得。从而 即。
4、联想二次函数。
例5、已知关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围为
分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。
设。又为偶函数，由图可知。
5、联想反函数的性质。
例6、方程的实根分别为，则=
分析：本题不好求解，联想原函数与反函数的图象性质进行数形结合，以数助形可巧妙求解。
令。互为反函数，其图象关于对称，设。
即。6、联想函数的单调性。
例7、已知实数（为自然对数的底），证明：
分析：本题直接证较难，，利用函数单调性，进行数形结合转化为函数问题，以数助形可轻松获证。
考虑函数在上的单调性。
即在上单调递减，
7、联想函数奇偶性。
例8、（05天津高考）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则。
分析：本题由于不明确，故的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知，又且的图象关于直线对称，
则奇函数可得：，则又由对称性知： 同理：
8、联想斜率公式。
例9、实系数方程的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。
分析：这个问题表面上看是方程、不等式问题，但直接求解麻烦！数形结合由的结构特征，联想二次函数性质及的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。
令，则由已知有得到。
这个二元一次不等式组的解为内的点的集合。
由的几何意义为过点和点的直线的斜率。
由此可以看出：即的取值范围是。
例10、计算：
分析：本题直接用三角公式计算较繁！如能由的结构形式联想斜率公式，数形结合，以形助数，即可巧妙探求。
本式可以看成二点连线的斜率，如图，借助单位圆，则，设倾斜角为。
则。9、联想两点间的距离公式。
例11、设，求证：
分析：本题直接证明较繁！如能由的结构形式，联想到两点间的距离公式，数形结合，以形助数，则抓住了知识间的内在联系，解法新颖，巧妙简洁。
不妨设，构造如图的，其中。
则。在中，有。
10、联想点到直线的距离公式。
例12、（02北京高考）已知是直线上的动点，是的两条切线，是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。
分析：直接求解较难，如能联想点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则更简洁。
要使面积最小，只需最小，即定点到定直线上动。
点距离最小即可。
即点到直线的距离，而。
例13、方程表示的曲线是。
分析：直接化简较繁！如能联想到点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则简洁明了。
原方程可化为：
即动点到定点的距离与到定直线的距离相等。
方程表示的曲线是抛物线。
11、联想直线的截距。
例14、已知，求的取值范围。
分析：此题直接求解较难，数形结合联想直线的截距。结合直线与圆的位置关系即可求。
可看作斜率为-2，过半圆上点的直线在轴上的截距，由图可知：
即。注：本题也可用三角换元。
例15、求函数的最值。
分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。
令，则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点。
又。12、联想定比分点坐标公式。
例16、已知是定义在上的单调函数，实数，，，若，则（ ）
05年辽宁高考）
a. b. c. d.
分析：本题如何探求，不知道，直接求解困难。
若能联想到定比分点坐标公式，数形结合，以形助数，则很易求。
不妨设，易知为有向线段的分点，又是定义在上的单调函数及。
可知为有向线段的外分点，。故选（a）
三、 数形结合思想在解题中的应用。
作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系式，用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题，分析其几何意义，借助形的直观来解。
1）“数”中思“形”
例1、如果实数满足等式，那么的最大值是什么？
解：设点在圆上，圆心为，半径等于。如图，则是点a与原点连线的斜率。当与⊙c相切，且切点a落在第一象限时，有最大值，即有最大值。因为 =，所以==，所以= =
例2、 解不等式。
解：设即对应的曲线是以(,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数的图象是一直线。
解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是。
2）“形”中觅“数”
例3、求方程的解的个数。
分析：此方程解的个数为的图象与的图象的交点个数。
因为， 所以
在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。
例4、已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，求k的不同取值个数。
分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（ ）的直线系，双曲线的渐近线方程为。
所以过（ ）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同值，此外，过（ ）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同的值，故有四个不同取值。
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