例1．（2023年北京）24．在△abc中，ab=ac，∠bac=（）将线段bc绕点b逆时针旋转60°得到线段bd。
图1图21）如图1，直接写出∠abd的大小（用含的式子表示）；
2）如图2，∠bce=150°，∠abe=60°，判断△abe的形状并加以证明；
3）在（2）的条件下，连结de，若∠dec=45°，求的值。
解：（11分。
（2）△abe是等边三角形2分。
证明：连结ad，cd．
dbc=60°，bd=bc，bdc是等边三角形，∠bdc=60°，bd=dc………3分。
又∵ ab=ac，ad=ad，abd≌△acd．
adb=∠adc，adb=150°．…4分。
abe=∠dbc=60°，abd=∠ebc．
又∵ bd=bc，∠adb=∠ecb=150°，abd≌△ebc．
ab=eb．
abe是等边三角形5分。
（3）解：∵ bdc是等边三角形，bcd=60°．
dce=∠bce-∠bcd=90°
又∵ ∠dec=45°，ce=cd=bc6分。
ebc=15°．
ebc=∠abd=30°-，307分。
例2．（2023年北京）24．在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。
（1） 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；
（2） 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；
3） 对于适当大小的，当点**段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。
解析】⑴，方法四：连接，易证。
又∵∵且。
∵点不与点重合。
例3．（2023年北京）24、在abcd中，∠bad的平分线交直线bc于点e，交直线dc于点f．
1）在图1中证明ce=cf；
2）若∠abc=90°，g是ef的中点（如图2），直接写出∠bdg的度数；
3）若∠abc=120°，fg∥ce，fg=ce，分别连接db、dg（如图3），求∠bdg的度数．
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）根据af平分∠bad，可得∠baf=∠daf，利用四边形abcd是平行四边形，求证∠cef=∠f．即可。
2）根据∠abc=90°，g是ef的中点可直接求得．
3）分别连接gb、ge、gc，求证四边形cegf是平行四边形，再求证△ecg是等边三角形．
由ad∥bc及af平分∠bad可得∠bae=∠aeb，求证△beg≌△dcg，然后即可求得答案。
解答：解：（1）如图1，af平分∠bad，∠baf=∠daf，四边形abcd是平行四边形，ad∥bc，ab∥cd，∠daf=∠cef，∠baf=∠f，∠cef=∠f．
ce=cf．
2）∠bdg=45°
3）解：分别连接gb、ge、gc，ad∥bc，∠abc=120°
∠ecf=∠abc=120°
fg∥ce且fg=ce，四边形cegf是平行四边形，由 （1）得ce=cf．
四边形cegf是菱形，ge=ec，①
gcf=∠gce=∠ecf=60°，△ecg是等边三角形．
eg=cg，∠gec=∠egc，∠gec=∠fgc，∠beg=∠dcg，②
由ad∥bc及af平分∠bad可得∠bae=∠aeb，ab=be，在abcd中，ab=dc，be=dc，③
由①②③得△beg≌△dcg，bg=dg，∠1=∠2
∠bgd=∠1+∠3=∠2+∠3=∠egc=60°，∠bdg==60°
点评：此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
例4．（2023年北京）25．问题：已知△abc中，∠bac=2∠acb，点d是△abc内的一点，且ad=cd，bd=ba．**∠dbc与∠abc度数的比值．
请你完成下列**过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
1）当∠bac=90°时，依问题中的条件补全右图；
观察图形，ab与ac的数量关系为相等 ；当推出∠dac=15°时，可进一步推出∠dbc的度数为 15° ；可得到∠dbc与∠abc度数的比值为 1：3 ；
2）当∠bac＜90°时，请你画出图形，研究∠dbc与∠abc度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
考点：等腰梯形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。
专题：压轴题。
分析：（1）利用题中的已知条件，计算出∠acb=∠abc，所以ab=ac（等角对等边）；由等腰三角形的性质知∠bad=∠bda=75°，再根据三角形内角和是180°，找出图中角的等量关系，解答即可；
2）根据旋转的性质，作∠kca=∠bac，过b点作bk∥ac交ck于点k，连接dk，构建四边形abkc是等腰梯形，根据已知条件证明△kcd≌△bad（sas），再证明△dkb是正三角形，最后根据是等腰梯形与正三角形的性质，求得∠abc与∠dbc的度数并求出比值．
解答：解：（1）①当∠bac=90°时，∠bac=2∠acb，∠acb=45°，在△abc中，∠abc=180°﹣∠acb﹣∠bac=45°，∠acb=∠abc，ab=ac（等角对等边）；
当∠dac=15°时，dab=90°﹣15°=75°，bd=ba，∠bad=∠bda=75°，∠dba=180°﹣75°﹣75°=30°，∠dbc=45°﹣30°=15°，即∠dbc=15°，∠dbc的度数为15°；
∵∠dbc=15°，∠abc=45°，∠dbc=15°：∠abc=45°=1：3，∠dbc与∠abc度数的比值为1：3．
2）猜想：∠dbc与∠abc度数的比值与（1）中结论相同．
证明：如图2，作∠kca=∠bac，过b点作bk∥ac交ck于点k，连接dk．
四边形abkc是等腰梯形，ck=ab，dc=da，∠dca=∠dac，∠kca=∠bac，∠kcd=∠3，△kcd≌△bad，∠2=∠4，kd=bd，kd=bd=ba=kc．
bk∥ac，∠acb=∠6，∠bac=2∠acb，且∠kca=∠bac，∠kca=2∠acb，∠5=∠acb，∠5=∠6，kc=kb，kd=bd=kb，∠kbd=60°，∠acb=∠6=60°﹣∠1，∠bac=2∠acb=120°﹣2∠1，∠1+（60°﹣∠1）+（120°﹣2∠1）+∠2=180°，∠2=2∠1，∠dbc与∠abc度数的比值为1：3．
点评：本题综合考查了是等腰梯形的判定与性质、正三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形的内角和．
例5．（2023年北京）24.在中，过点c作ce⊥cd交ad于点e,将线段ec绕点e逆时针旋转得到线段ef(如图1)
1）在图1中画图**：
当p为射线cd上任意一点（p1不与c重合）时，连结ep1绕点e逆时针旋转得到线段ec1.判断直线fc1与直线cd的位置关系，并加以证明；
当p2为线段dc的延长线上任意一点时，连结ep2,将线段ep2绕点e 逆时针旋转得到线段ec2.判断直线c1c2与直线cd的位置关系，画出图形并直接写出你的结论。
2）若ad=6,tanb=,ae=1,在①的条件下，设cp1=，s=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
解：（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．
证明：如图1，设直线与直线的交点为．
线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，．，
按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．
2）∵四边形是平行四边形，．，
可得．由（1）可得四边形为正方形．
如图2，当点**段的延长线上时，．
如图3，当点**段上（不与两点重合）时，．
当点与点重合时，即时，不存在．
综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或．
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