2023年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛复赛。
参赛说明。1、北京工业大学数学建模复赛试题共有两道（a、b），请选择你最熟悉的一道题目回答，不必做其他题目。
2、请按规定的时间内上交试卷，过期无效。试卷要在用a4纸打印完成，手写无效。
3、由于竞赛题目有一定的难度，因此不必做完上一个问题，才能回答下一个问题，而是需要完整地把解题的思想表达出来。由于有些题目中的问题较多，或难度较大，很可能在一周的业余时间内做不完，你可以对某些问题不作回答，有兴趣的同学可以在竞赛后再作深入研究。
4、由于题目难度不可能完全相同，评审中将向难度较大的题目倾斜，请参赛选手在选题时加以考虑。
5、尽管本次竞赛研究生和本科生均能参加，但在评分上两者的要求是不同的，在阅卷时将对研究生有更高的要求。
6、本次竞赛从开题到5月4日（周三）下午一点半截止，为期一周，5月4号1点30分到2点30分在数理楼2316进行收题工作，请务必准时上交题目纸质版，过时不候。
a题：城市经济数据分析与区域合作。
改革开放30年来，中国经济取得了巨大的发展，这个发展从整个经济增长水平来看从2023年到2023年我国gdp按照可比**年均增长在9%以上，其发展水平世界瞩目。但是我国区域经济发展存在不平衡现象，东部沿海城市与中西部地区差距过大，严重制约了国民经济的进一步发展。扩大内需、调整经济结构、加快城市化建设进程和促进欠发达地区的经济繁荣是我国国民经济的下一步重要战略决策。
表a.1（见下页）列出了我国99个城市的经济数据，这些数据是根据中国统计信息网公布的2023年度gdp数据及其它网上信息得到的。表中选择了各省中具有代表性的城市，加上所有直辖市，考察这些城市的经济数据和产业结构。
如果考虑选择其中gdp（生产总值）排在较靠前的城市组成城市集合a,将gdp排在较靠后的城市组成城市集合b，考虑建立一种经济合作和技术援助的关系，希望通过较发达地区和欠发达地区的人才流动、教育与技术支援、经济合作交流以及国家的一些税收政策等带动和促进欠发达地区的经济繁荣与城市化进程。这种带动和促进作用和两个不同地区的经济规模、产业结构、地缘关系、生态地理环境、资源与市场互补性、交通便利程度等诸多因素有关。
请你处理如下问题：
1. 请选择一种或多种数学方法，将表a.1中缺失的数据尽可能地补充完整，并请说明补充数据的数学方法和计算过程，以及补充后数据的合理性。
2. 选择城市集合a
北京、上海、天津、广州、深圳、厦门、济南、青岛、沈阳、大连、长沙、武汉、成都、南京、无锡、常州、杭州、宁波、呼和浩特、鄂尔多斯；
和城市集合b
邢台、大同、贵阳、六盘水、海东、海北、定西、拉萨、曲靖、开封、九江、上饶、齐齐哈尔、百色、蚌埠、桂林、来宾、黄石、琼海、中卫；
试对城市集合a中的每一个城市i，评价其关于城市集合b中的每一个城市j的经济带动作用与互利效应并进行量化。
3. 建立a中城市与b中城市的一一对应关系，即结成20个城市对，每个城市对包含一个a中城市和一个b中城市，使总效益（总经济带动作用）达到最大。
4. 指出每一对城市今后合作重点和发展前景，评价上述对应关系的优缺点。重新选择集合a和集合b中的城市是否更合理？请提出城市集合a和b的选择标准和对应法则。
5. 如果不作一对一的限制，可以是a中一个城市对b中多个城市，也可以是a中多个城市对b中一个城市建立互助合作关系，那又应该怎样建立这种关系，才能使总效益达到最大？
表a.1：中国部分城市2023年的gdp
2023年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛复赛。
b题：产品的模块设计。
某公司为汽车、徒步旅行者、野营者、运动员和勘探队生产急救包。公司位于a市，所有材料必须先运到a市，然后再运到客户的仓库。公司已经做了广泛的客户市场调查，表b.
1显示了对明年急救包需求量的预计。
表b.1：急救包需求量。
每一个急救包都包含表b.2所列的各项物品，这些物品按照它们的基本大小，以斤（500克）为单位。例如，公司可以购买成包的退热净胶囊药片，每包12片，成本为7.5元。
表b.2：物品成本与基本大小。
公司购买各种物品，然后根据各个急救包中每一个部分的要求组装急救包，如表b.3所示。
表b.3：急救包要求的物品（基本单位）
这些是最低要求，因为客户希望每一个特定的急救包中都要包含每一种物品最少的所示数量。例如，宿营者的包中至少有4条毯子和3件冰镇物品（6个冷敷包）以及其他物品。
可以使用两种策略来组装急救包：
直接组装，按照严格的要求组装每一个急救包。
按模块组装，开发一个或多个能够组装并组合到急救包中的标准模块，这样就可以满足每一种物品的最低要求。图b.1（见下页）详细描绘了这种组装方式图。
例如，如果你设计的模块有两个单位的创可贴（以及其他物品），你把3个这样的模块放在勘探急救包中，那么这个包将有3×2＝6个单位的创可贴；它将满足勘探急救包对4个单位创可贴的需要。在这个例子中，需要的每个勘探急救包多出了两个单位的创可贴，成本是。
2×5.00 元/单位＝10.00元。
此外，每个模块的总重量不能超过15斤（7500克）。
图b.1：模块化组装。
直接组装可以满足严格的要求，但与模块化组装相比，这样做通常需要较高的劳动成本。在存放库存时，模块比较容易使用，因为它们往往比急救包小。
开发模块化组装策略。模块化系统的主要成本是出现过剩。你制定的策略必须包括以下内容：
你设计的模块的数量 （模块越多，越能严格满足要求，但组装和库存成本也会越高）；
设计每个模块的单位含量；
每个模块必须的总量预计。
在分析时应考虑的问题包括：
不同模块设计数量之间的折衷和包含的总成本；
解决方案对急救包预计需求的灵敏度分析；
对单位成本**的灵敏度分析；
对每个模块大小重量限制的灵敏度分析；
考虑其他你认为需要考虑的因素；
根据你所学的知识，证明你的解决方案是最优的。
2023年北京工业大学数学建模初赛试题
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解 1 将线性方程组写成矩阵形式，若det a 0,则x0 0,0 t,是唯一平衡点。p a11 a22 2,q det a 1,因为p 0,q 0,所以平衡点不稳定。2 将线性方程组写成矩阵形式，若det a 0,则x0 0,0 t,是唯一平衡点。p a11 a22 1,q det a 2,因为p...