数学。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。
1.复数的共轭复数是 ▲
2.若双曲线的离心率为，则= ▲
3.样本数据的方差是 ▲
4.函数。的图象如图所示，则 ▲
5.已知集合，在中可重复的依次取出三个数。
则“以为边恰好构成三角形”的概率是 ▲
6．设分别是的斜边上的两个三等分点，已知，则 ▲
7.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题：
若则∥；若则；
若∥，∥则；
若与相交且不垂直，则与不垂直。
其中，所有真命题的序号是 ▲
8.已知，且，则= ▲
9.右图是一个算法的流程图，最后输出的 ▲
10.已知圆与圆相交，则实数的取值范围为 ▲
11.某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径，满盘时直径，已知卫生纸的厚度为，则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲ 取，精确到）.
12.已知数列满足，则数列。
的前100项的和为 ▲
13.已知的三边长满足，则的取值范围为 ▲
14.在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线上的一个动点，点处的切线与两个坐标轴交于两点，则的面积的最小值为 ▲
二、解答题：本大题共六小题，共计90分。
15.（本小题满分14分）
在中，已知角的对边分别为且。
求；若，求。（结果用根式表示）
16. （本小题满分14分）
正三棱柱中，已知，为的中点，为与的交点。
求证： 平面；
若点为的中点，求证：∥平面。
17. （本小题满分14分）
有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段。为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距正比于车速的平方与车身长的积，且车距不得小于一个车身长（假设所有车身长均为）.而当车速为时，车距为1.
44个车身长。
求通过隧道的最低车速；
在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量最多？
18. （本小题满分16分）
如图，椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作直线的垂线分别交椭圆、轴于两点。
若，求实数的值；
设点为的外接圆上的任意一点，当的面积最大时，求点的坐标。
19. （本小题满分16分）
设数列的前项的和为，已知。
求，及；设若对一切均有，求实数的取值范围。
20. （本小题满分16分）
设函数。当时，判断函数的单调性，并加以证明；
当时，求证：对一切恒成立；
若，且为常数，求证：的极小值是一个与无关的常数。
加试题卷。21.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与定直线：的距离相等。
求动点的轨迹的方程；
过点作倾斜角为的直线交轨迹于点，求的面积。
22. （本小题满分10分）
一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为。
求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；
求的分布列及的数学期望。
23. （本小题满分10分）
如图，在棱长为3的正方体中，.
求两条异面直线与所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值。
24．（本小题满分10分）
设，．当时，比较与的大小．
根据⑴的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．
解答部分】1.【解析】
2.【解析】
3.【解析】
4.【解析】，
5.【解析】“在中可重复的依次取出三个数”的基本事件总数为，事件“以为边不能构成三角形”分别为所以。
6.【解析】
7. ①解析】③错误，相交或平行；④错误，与可以垂直，不妨令，则在内存在。
8.【解析】
9.【解析】输出的。
10.【解析】由得该圆圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标在圆内，因此两圆相切的可能性只有两种：圆内切于圆此时圆内切于圆，此时所以。
11.【解析】，所以。
12.【解析】由得。
则是周期数列，
13.【解析】
通过求得可行域如图。
因此可以看作是点到原点连线的斜率，。
14.【解析】设切点为，则切线的斜率，切线方程为，，所以。
15.【解析】（1）由条件，得。
所以。因为是三角形内角，所以。
2）由得。由正弦定理得。
因为。所以。
16.【解析】证明：（1）连结。
因为，为的中点，而，所以。
又因为是正方形对角线的交点，所以。
又因为。所以平面。
2)取的中点，在中，因为是的中点，所以，且。
又因为是的中点，所以，且。
所以四边形是平行四边形，所以。
又因为平面，平面，所以∥平面。
17.【解析】（1）依题意，设，其中是待定系数，因为当时，
所以，所以。
因为，所以，
所以最低车速为。
2)因为两车间距为，则两辆车头间的距离为。
一小时内通过汽车的数量为，因为所以。
所以当即时，单位时段内通过的汽车数量最多。
18.【解析】（1）由条件得。
因为所以。令得所以点的坐标为。
由得解得（舍）
所以点的坐标为。
因为，所以且。
2）因为是直角三角形，所以的外接圆的圆心为，半径为。
所以圆的方程为。
因为为定值，所以当的面积最大时点到直线的距离最大。
过作直线的垂线，则点为直线与圆的交点 .
直线与联立得（舍）或。
所以点的坐标为。
19.【解析】依题意，时，;时，.
因为，时。所以。
上式对也成立，所以。
2）当时，,当时，,所以，数列是等比数列，则。
因为随的增大而增大，所以，由得，所以或。
20.【解析】(1)当时，所以函数在上是单调减函数。
2) 当时， ,
令得。当时，，是单调减函数；
当时，，是单调增函数；
所以当时，有最小值，即对一切恒成立。
(3),所以。
令，得，舍）或，所以。
当时，，是单调减函数；
当时，，是单调增函数。
当时，有极小值，而是与无关的常数，所以是与无关的常数，即的极小值是一个与无关的常数。
21.【解析】（1）设，由抛物线定义知，点的轨迹为抛物线，方程为。
2），代入消去得。设则所以。
22.【解析】（1）记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事件，依题意知。
所以摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为。
所以的分布列为。
所以的数学期望。
23.【解析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以。
即两条异面直线与所成角的余弦值为。
设平面的一个法向量为。
由得，所以，则不妨取。
设直线与平面所成角为，则。
所以直线与平面所成角为。
24.【解析】（1）
2)猜想：当时，有。
证明：①当时，猜想成立。
假设当时猜想成立，即，因为，所以。
由①②知，对一切时，都成立。
巩固部分】1-4已知函数的图像如图所示，则 。
解析】由图象知最小正周期（）＝故，又时，，即，可得，所以， 2。
答案】.2-5连掷两次骰子分别得到点数，向量，若中与同向，与反向，则是钝角的概率是 .
解析】则是钝角，即向量夹角为锐角，,所以包含个基本事件，又共有个基本事件，所以是钝角的概率是。
答案】。3-6等边三角形中，**段上，，若，则实数的值是 ．
解析】设三角形的边长为1，则ap=。
又，∴。答案】.
4-8已知，，且为锐角，
解析】，这里如果通过，就会出现或，需进一步确定结果。
答案】。5-14曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .
解析】切线的斜率切线的方程为令，则；，.即切线与两坐标轴的交点分别是曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为。
答案】.6-16如图，在直三棱柱中，，为中点。
ⅰ）求证：；
ⅱ）求证：平面平面；
ⅲ）求三棱锥的体积。
解析】（ⅰ又由直三棱柱性质知。
平面又平面∴.
ⅱ）由，为中点，可知，即。
又 ∴平面。
又平面，故平面平面。
ⅲ）解： .
7-19设为数列的前项和，对任意的n，都有为常数，且．
1）求证：数列是等比数列；
2）设数列的公比，数列满足， n，求数列的通项公式；
3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和．
解析】（1）当时，，解得．
当时，．即．
为常数，且，∴
数列是首项为1，公比为的等比数列．
2）由（1）得，，．即．
是首项为，公差为1的等差数列．，即（）．
3）解：由（2）知，则．
所以，即。则， ②
－①得， 故．
8-20已知函数，其中。
1）当时，求的值并判断函数的奇偶性；
（2）当时，若函数的图像在处的切线经过坐标原点，求的值；
3）当时，求函数在上的最小值。
解析】（1）时，所以，所以时非奇非偶函数。
2）时，，所以， 所以在处的切线方程为，因为过原点，所以。
3）（ⅰ当时，上，所以在内单调递减，递增，所以。
ⅱ） 当时，上，，所以单调递增，.
ⅲ）当时，当时，，所以单调递增，当时，因，所以在上单调递减，在上递增，所以若，则，当时。
而时，所以，时，同样，因，所以，综上：时， 时，.
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