2023年学业水平阶段性调研测试（2012.5）
26. (本小题满分9分)
如图，二次函数y= x2axb的图象与x轴交于a(，0)、b(2，0)两点，且与y轴交于点c.
(1) 求该拋物线的解析式，并判断△abc的形状；
(2) 在x轴上方的拋物线上有一点d，且以a、c、d、b四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出d点的坐标；
(3) 在拋物线上存在点p，使得以a、c、b、p四点为顶点的四边形是直角梯形，求出p点的坐标。
27. (本小题满分9分)
如图，点b的坐标是(4，4)，作ba⊥x轴于点a，作bc⊥y轴于点c，反比例函数(k＞0)的图象经过bc的中点e，与ab交于点f，分别连接oe、cf，oe与cf交于点m，连接am.
求反比例函数的函数解析式及点f的坐标；
你认为线段oe与cf有何位置关系？请说明你的理由。
求证：am=ao.
28. (本小题满分9分)
在□abcd中，∠bad的平分线交直线bc于点e，交直线dc于点f．
1)在图1中证明ce=cf；
2)若∠abc=90°，g是ef的中点（如图2），直接写出∠bdg的度数；
3)若∠abc=120°，fg∥ce，fg=ce，分别连接db、dg（如图3），求∠bdg的度数．
26．（2012山东济南9分）如图1，在菱形abcd中，ac=2，bd=2 3 ，ac，bd相交于点o．
1）求边ab的长；
2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形abcd的顶点a处，绕点a左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边bc，cd相交于点e，f，连接ef与ac相交于点g．
判断△aef是哪一种特殊三角形，并说明理由；
旋转过程中，当点e为边bc的四等分点时（be＞ce），求cg的长．
27．（2012山东济南9分）如图，已知双曲线，经过点d（6，1），点c是双曲线第三象限上的动点，过c作ca⊥x轴，过d作db⊥y轴，垂足分别为a，b，连接ab，bc．
1）求k的值；
2）若△bcd的面积为12，求直线cd的解析式；
3）判断ab与cd的位置关系，并说明理由．
28．（2012山东济南9分）如图1，抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴相交于点a（－3，0），b（－1，0），与y轴相交于点c，⊙o1为△abc的外接圆，交抛物线于另一点d．
1）求抛物线的解析式；
2）求cos∠cab的值和⊙o1的半径；
3）如图2，抛物线的顶点为p，连接bp，cp，bd，m为弦bd中点，若点n在坐标平面内，满足△bmn∽△bpc，请直接写出所有符合条件的点n的坐标．
答案】解：（1）∵抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴相交于点a（－3，0），b（－1，0），，解得。∴抛物线的解析式为：
y=x2＋4x＋3。（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2＋4x＋3，令x=0，得y=3，∴c（0，3）。
oc=oa=3，则△aoc为等腰直角三角形。
∠cab=45°，∴cos∠cab=。
在rt△boc中，由勾股定理得：bc=。
如图1所示，连接o1b、o1c，由圆周角定理得：∠bo1c=2∠bac=90°。
△bo1c为等腰直角三角形，⊙o1的半径o1b=。
3）点n的坐标为（，）或（，）
考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，圆及抛物线的对称性质，相似三角形的性质，勾股定理。
分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
2）如答图1所示，由△aoc为等腰直角三角形，确定∠cab=45°，从而求出其三角函数值；由。
圆周角定理，确定△bo1c为等腰直角三角形，从而求出半径的长度。
3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点d坐标，从而求出点m的坐标和线段。
bm的长度；点b、p、c的坐标已知，求出线段bp、bc、pc的长度；然后利用△bmn∽△bpc相似三角形比例线段关系，求出线段bn和mn的长度；最后利用勾股定理，列出方程组，求出点n的坐标。
抛物线y=x2＋4x＋3=（x＋2）2－1，顶点p坐标为（－2，－1），对称轴为x= －2。
又∵a（－3，0），b（－1，0），可知点a、b关于对称轴x=2对称。
如图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点d、点c（0，3）关于对称轴对称。
d（－4，3）。
又∵点m为bd中点，b（－1，0），∴m（）。
bm=。在△bpc中，b（－1，0），p（－2，－1），c（0， 3），由勾股定理得：bp=，bc=，pc=。
△bmn∽△bpc，，即。
解得：bn=，mn。
设n（x，y），由勾股定理可得：
解得，，。点n的坐标为（，）或（，）
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