2024年中考复习 17证“a b c”专题

2024年中考复习——证“a+b=c”专题。

几何中有许多题目要证明一线段等于另两线段的和（或差），解决这类问题常用的方法大体有五种，即，利用等量线段代换、截短法、接长法、利用面积证明、旋转等五种。下面分别列举几例逐一说明：

一、利用等量线段代换：证一线段等于另两线段的和（或差），只需证这条全线段的两部分，分别等于较短的两条线段，问题就解决了。

例1已知：如图，在△abc中，∠b和∠c的角平分线bd、cd相交于一点d，过d点作ef∥bc交ab与点e，交ac与点f。求证：ef=be+cf

二、截短法或接长法：所谓截短法就是将长线段，截成几条线段，然后分别证明这几条线段等于要证明中的较短的线段，最后代入达到目的。所谓接长法是将较短的两条线段适当的连接起来，然后再证这条线段等于第三条线段，从而达到目的。

例2：如图所示已知 △abc中，，ac=bc，ad是∠bac的。

角平分线。求证：ab=ac+cd.

三、面积法：利用三角形的面积进行证明。

例3：所示已知 △abc中，ab=ac，p是底边上的任意一点，pe⊥ac，pd⊥ab，bf是腰ac上的高，e、d、f为垂足。

求证： pe+pd=bf

当p点在bc的延长线上时，pe、pd、pf之间满足什么关系式？

四、旋转法：通过旋转变换，而得全等三角形是解决正方形中有关题目类型的一种技巧。

例4、如图①，在正方形abcd中，e、f分别是bc、cd上的点，且∠eaf=45°，则有结论ef=be+fd成立；

1）如图②，在四边形abcd中，ab=ad，∠b=∠d=90°，e、f分别是bc、cd上的点，且∠eaf是∠bad的一半，那么结论ef=be+fd是否仍然成立？若成立，请证明？若不成立，请说明理由。

2）若将（1）中的条件改为：在四边形abcd中，ab=ad，∠b+∠d=180°，延长bc到点e，延长cd到点f，使得∠eaf仍然是∠bad的一半，则结论ef=be+fd是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。

五、比例法：设均为线段，欲证，只需证，利用比例法证出含的比例式，令两式相加整理得到1

例5、如图所示，梯形abcd中，ad∥bc,若p是bc上任一点，pe∥dc,pf∥ab,ab=cd,求证：pe+pf=ab.

练习题。1. 如图2—1—3所示已知三角形abc中，ad平分∠bac，∠b=2∠c，求证：ab+bd=ac.

2. 如图2—1—8所示已知△ abc中，，ac=bc，e是ab上的一点，bd⊥ce，af⊥ce，垂足分别为d、f，∠b=2∠c，求证：df+af=cf.

3、.已知：p是等腰三角形abc的底边bc上的任意一点，过p作ab、ac的平行线交ac、ab于q、r.证明：pq+pr的值不随p点的变化而变化。且pq+pr为定值。

4、已知：如图所示，在中，d\e是bc上的点，bd=ce,过d,e作ab的平行线df,eg,分别交ac于f,g。求证：df+eg=ab。

5、如图，所示已知四边形abcd中，ad∥bc，且∠dab的角平分线ae交cd于e，连结be，且be平分∠abc，求证：ad+bc=ab.

6、已知：等边△ abc内接于圆o，e是劣弧bc上任意一点。

求证：ae=be+ce