微积分期末复习题。
特别提示：这组练习题不完全是针对期末考试。 复习题的内容为涵盖期末考试的所有内容主要目的是帮助大家复习和提高。）
1．柯西列的定义，两种等价叙述方式，数列和级数的柯西收敛原则．
2．若级数收敛，则正数的范围是。
解： 3．求证存在．
解：取对数．级数收敛．
4.判别收敛性：．
解： 由比阶判别法推出级数收敛．
5．设幂级数在点收敛，则实数的取值范围是。
6．判别是否收敛，并且由此研究无穷积分的收敛性．
提示：用莱布尼茨判别法证明级数收敛．另一方面，，
由此证明．7．设，求证．在一致收敛．求和函数，指出在连续 (该函数级数在处处收敛，但不一致收敛) ．
解：在唯一驻点．于是在单调减少．当充分大时，在单调减少．因此．所以。
比较判别法推出．在一致收敛．
和函数．8．设的收敛半径为，的收敛半径为．则的收敛区间为提示：可以证明的收敛半径不小于２和３的最小值．是否等于２，则要验证．（答案）．
9．将展开为幂级数，并指出函数与幂级数相等的区间．
解： ．10．求和。 解：
11．．和分别是的余弦展开和正弦展开．．求、与．
12．是否收敛？
解：， 13．，．求证收敛．
解：由极限保号性，当充分大时，．．
14．设在满足．．若在有界，求证收敛．
提示： ．15．设为数列．．如果存在，则称无穷乘积收敛．并且称极限为数列的无穷乘积．
１）若绝对收敛，求证收敛．
２）设为正项级数．求证：收敛的充分必要条件是收敛．
16．求和．
解：考察．当时，．当时．
．于是。17．证明函数级数在区间上一致收敛．
18．设，求证收敛．
提示：设．则当充分大时，．与级数比较．
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