第一章质点运动学。
1 -1 质点作曲线运动，在时刻t 质点的位矢为r,速度为v ,速率为v,t 至(t ＋δt)时间内的位移为δr, 路程为δs, 位矢大小的变化量为δr ( 或称δ｜r｜),平均速度为，平均速率为．
1) 根据上述情况，则必有( )
a) ｜r｜= s = r
b) ｜r｜≠ s ≠ r,当δt→0 时有｜dr｜= ds ≠ dr
c) ｜r｜≠ r ≠ s,当δt→0 时有｜dr｜= dr ≠ ds
d) ｜r｜≠ s ≠ r,当δt→0 时有｜dr｜= dr = ds
2) 根据上述情况，则必有( )
ab) ｜cd
分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋δt)时间内沿曲线从p 点运动到p′点，各量关系如图所示， 其中路程δs ＝pp′, 位移大小｜δr｜＝pp′,而δr ＝｜r｜-｜r｜表示质点位矢大小的变化量，三个量的物理含义不同，在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当δt→0 时，点p′无限趋近p点，则有｜dr｜＝ds,但却不等于dr．故选(b)．
2) 由于｜δr ｜≠s,故，即｜｜≠
但由于｜dr｜＝ds,故，即｜｜＝由此可见，应选(c)．
1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处，对其速度的大小有四种意见，即。
下述判断正确的是( )
a) 只有(1)(2)正确 (b) 只有(2)正确。
c) 只有(2)(3)正确d) 只有(3)(4)正确。
分析与解表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率，在极坐标系中叫径向速率．通常用符号vr表示，这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式计算，在直角坐标系中则可由公式求解．故选(d)．
1 -3 质点作曲线运动，r 表示位置矢量， v表示速度，a表示加速度，s 表示路程， aｔ表示切向加速度．对下列表达式，即。
1)d v /dt ＝；2)dr/dt ＝v；(3)ds/dt ＝v；(4)d v /dt｜＝aｔ．
下述判断正确的是( )
a) 只有(1)、(4)是对的 (b) 只有(2)、(4)是对的。
c) 只有(2)是对的d) 只有(3)是对的。
分析与解表示切向加速度aｔ,它表示速度大小随时间的变化率，是加速度矢量沿速度方向的一个分量，起改变速度大小的作用；在极坐标系中表示径向速率vr(如题1 -2 所述)；在自然坐标系中表示质点的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度aｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(d)．
1 -4 一个质点在做圆周运动时，则有( )
a) 切向加速度一定改变，法向加速度也改变。
b) 切向加速度可能不变，法向加速度一定改变。
c) 切向加速度可能不变，法向加速度不变。
d) 切向加速度一定改变，法向加速度不变。
分析与解加速度的切向分量aｔ起改变速度大小的作用，而法向分量an起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时，由于速度方向不断改变，相应法向加速度的方向也在不断改变，因而法向加速度是一定改变的．至于aｔ是否改变，则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时， aｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时， aｔ为一不为零的恒量，当aｔ改变时，质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见，应选(b)．
1 -5 已知质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为，式中x 的单位为m,t 的单位为 s．求：
1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小；
2) 质点在该时间内所通过的路程；
3) t＝4 s时质点的速度和加速度．
分析位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时，位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移δx 的大小可直接由运动方程得到：,而在求路程时，就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向，此时，位移的大小和路程就不同了．为此，需根据来确定其运动方向改变的时刻tp ,求出0～tp 和tp～t 内的位移大小δx1 、δx2 ,则t 时间内的路程，如图所示，至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用和两式计算．
题 1-5 图。
解 (1) 质点在4.0 s内位移的大小。
(2) 由。
得知质点的换向时刻为。
t＝0不合题意)
则。所以，质点在4.0 s时间间隔内的路程为。
(3) t＝4.0 s时。
1 -6 已知质点的运动方程为，式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求：
1) 质点的运动轨迹；
2) t ＝0 及t ＝2ｓ时，质点的位矢；
3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移δr 和径向增量δr；
分析质点的轨迹方程为y ＝f(x),可由运动方程的两个分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到．对于r、δr、δr、δs 来说，物理含义不同，(详见题1-1分析).
解 (1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为。
这是一个抛物线方程，轨迹如图(a)所示．
2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程，可得相应位矢分别为。
图(a)中的p、q 两点，即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置．
3) 由位移表达式，得。
其中位移大小。
而径向增量。
题 1-6 图。
1 -7 质点的运动方程为。
式中x,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．
试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．
分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量，再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．
解 (1) 速度的分量式为。
当t ＝0 时， v0x ＝-10 m·ｓ-1 , v0y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为。
设v0与x 轴的夹角为α,则。
2) 加速度的分量式为。
则加速度的大小为。
设a 与x 轴的夹角为β,则。
＝-33°41′(或326°19′)
1 -9 质点沿直线运动，加速度a＝4 -t2 ,式中a的单位为m·ｓ-2 ,t的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时，x＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程．
分析本题属于运动学第二类问题，即已知加速度求速度和运动方程，必须在给定条件下用积分方法解决．由和可得和．如a＝a(t)或v ＝v(t),则可两边直接积分．如果a 或v不是时间t 的显函数，则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．
解由分析知，应有。得1)由。
得2)将t＝3ｓ时，x＝9 m,v＝2 m·ｓ-1代入(1)、(2)得。
v0＝-1 m·ｓ-1, x0＝0.75 m
于是可得质点运动方程为。
1 -10 一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动，现测得其加速度a＝a -bv,式中a、b 为正恒量，求石子下落的速度和运动方程．
解选取石子下落方向为y 轴正向，下落起点为坐标原点．
1) 由题意知1)
用分离变量法把式(1)改写为。
将式(2)两边积分并考虑初始条件，有。
得石子速度。
由此可知当，t→∞时，为一常量，通常称为极限速度或收尾速度．
2) 再由并考虑初始条件有。
得石子运动方程。
1 -11 一质点具有恒定加速度a ＝6i ＋4j,式中a的单位为m·ｓ-2 ．在t＝0时，其速度为零，位置矢量r0 ＝10 mi．求：(1) 在任意时刻的速度和位置矢量；(2) 质点在oxy 平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图．
题 1-11 图。
分析与上两题不同处在于质点作平面曲线运动，根据叠加原理，求解时需根据加速度的两个分量ax 和ay分别积分，从而得到运动方程r的两个分量式x(t)和y(t)．由于本题中质点加速度为恒矢量，故两次积分后所得运动方程为固定形式，即和，两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．
解由加速度定义式，根据初始条件t0 ＝0时v0 ＝0,积分可得。
又由及初始条件t＝0 时，r0＝(10 m)i,积分可得。
由上述结果可得质点运动方程的分量式，即。
x ＝10＋3t2
y ＝2t2
消去参数t,可得运动的轨迹方程。
3y ＝2x -20 m
这是一个直线方程．直线斜率，α＝33°41′．轨迹如图所示．
1 -12 质点在oxy 平面内运动，其运动方程为r＝2.0ti ＋(19.0 -2.
0t2 )j,式中r 的单位为m,t的单位为s．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t1＝1.0s 到t2 ＝2.
0s 时间内的平均速度；(3) t1 ＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4) t ＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．
分析根据运动方程可直接写出其分量式x ＝x(t)和y ＝y(t),从中消去参数t,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率，即，它与时间间隔δt 的大小有关，当δt→0 时，平均速度的极限即瞬时速度．切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量aｔ 和an ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率，即，后者只反映质点速度方向的变化，它可由总加速度a 和aｔ 得到．在求得t1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后，可由公式求ρ．
解 (1) 由参数方程。
x ＝2.0t, y ＝19.0-2.0t2
消去t 得质点的轨迹方程：
y ＝19.0 -0.50x2
(2) 在t1 ＝1.00ｓ 到t2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度。
3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为。
则t1 ＝1.00ｓ时的速度。
v(t)｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j
切向和法向加速度分别为。
4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为。
则。1 -15 如图所示，从山坡底端将小球抛出，已知该山坡有恒定倾角，球的抛射角，设球被抛出时的速率v0 ＝19.6 m·ｓ-1，忽略空气阻力，问球落在山坡上处离山坡底端的距离为多少？
此过程经历多长时间？
题 1-15 图。
分析求解方法与上题类似，但本题可将运动按两种方式分解，如图（a）和图（b）所示。在图（a）坐标系中，两个分运动均为匀减速直线运动，加速度大小分别为-g和-g，看似复杂，但求解本题确较方便，因为落地时有y=0,对应的时间t和x的值即为本题所求。在图（b）坐标系中，分运动看似简单，但求解本题还需将落地点p的坐标y与x的关系列出来。
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