空集。不含任何元素的集合叫做空集，记为φ
规定： 空集是任何集合的子集，
空集是任何非空集合的真子集。
元素：互异性。
例题：1、已知集合a=，若3∈a，则m的值为 ．
2、设全集u=，a=，b=，则a∩b= ，a∪（ub）=
3、﹣3∈，求a的值 ．
相同函数。 相同函数的判断方法：
表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；
定义域一致 (两点必须同时具备)
例题：1、下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
a．y=1，y= b．y=，y=
c．y=x与y=logaax（a＞0且a≠1） d．y=|x|，2、下列函数中，与函数y=x相同的函数是（ ）
a．y=|x| b．y=
c． d．y=logaax（a＞0，且a≠1）
求定义域。能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
1)分式的分母不等于零；
2)偶次方根的被开方数不小于零；
3)对数式的真数必须大于零；
4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的。那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合。
6)指数为零底不可以等于零，
7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。
例题：1、已知函数f（x）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是（ ）
a．（﹣2] b．[﹣1，4] c．[2，+∞d．
2、函数f（x）=+lg（x+1）的定义域是 ．
3、函数f（x）=的定义域为r，则实数a的取值范围为（ ）
a．（0，1） b．[0，1] c．（0，1] d．[1，+∞
求值域 : 先考虑其定义域。
二次函数类型 ②常数分离法 ③判别式法。
例题：1、设函数，,则的值域是。
2、函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（ ）
a．（0，+∞b．[0，+∞c．（1，+∞d．[1，+∞
3、函数的值域为 ．
分段函数。1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
2)各部分的自变量的取值情况．
3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
例题：1、已知函数f（x）=满足：对任意实数x1，x2，当x1＜x2时，总有f（x1）﹣f（x2）＞0，那么实数a的取值范围是 ．
函数的单调性(局部性质)
1.（1）增函数。
设函数y=f(x)的定义域为i，对于区间d上的任意两个自变量的值x1，x2当x1②都有f(x1)③那么就说f(x)在区间d上是增函数。区间d称为y=f(x)的单调增区间。
如果对于区间d上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1②都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。区间d称为y=f(x)的单调减区间。
函数单调区间与单调性的判定方法。
a) 定义法：
任取x1，x2∈d，且x1作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
b)复合函数的单调性。
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集。
例题：1、有4个结论：
对于任意x∈（0，1），x＞x；
存在x∈（0，+∞x＜（）x；
对于任意的x∈（0，），x＜x；
对于任意的x∈（0，+∞x＞x
其中的正确的结论是（ ）
a．①③b．①④c．②③d．②④
2、若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是（ ）
ab． c． d．（0，+∞
3、已知函数f（x）=满足：对任意实数x1，x2，当x1＜x2时，总有f（x1）﹣f（x2）＞0，那么实数a的取值范围是 ．
函数的奇偶性（整体性质）
1）偶函数。
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
2）．奇函数。
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
3）具有奇偶性的函数的图象的特征。
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(－x) =f(x) 或 f(－x)－f(x) =0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =f(x) 或 f(－x)＋f(x) =0，则f(x)是奇函数．
例题：1、已知幂函数是偶函数，则实数m的值是（ ）
a．4 b．﹣1 c． d．4或﹣1
2、已知函数f（x）是r上的偶函数，它在[0，+∞上是减函数，若f（lnx）＞f（1），则x的取值范围是 ．
函数的解析表达式。
1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域。
2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法。
2) 待定系数法。
3) 换元法。
4) 消参法。
例题：已知函数y=f（x）是定义在r上的奇函数．当x＞0时，f（x）=xex，则x＜0时，f（x）=
函数最大（小）值。
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值。
利用图象求函数的最大（小）值。
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
例题：1、已知函数在区间上的最大值为。
2、已知函数f（x）和g（x）均为奇函数，h（x）=af3（x）﹣bg（x）﹣2在区间（0，+∞上有最大值5，那么h（x）在（﹣∞0）上的最小值为 ．
指数函数与对数函数的计算题。
一）指数与指数幂的运算。
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
当是奇数时，当是偶数时，分数指数幂。
正数的分数指数幂的意义，规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
实数指数幂的运算性质。
对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，— 真数，— 对数式）
说明： 注意底数的限制，且；
常用对数：以10为底的对数；自然对数：以无理数为底的对数的对数．
对数的运算性质。
如果，且，，，那么：
注意：换底公式。
（，且；，且；）．
利用换底公式推导下面的结论。
常考题型：提取公因数 or 完全平方公式。例题：
2、的值为 ．
指数函数及其性质。
函数的定义域为r．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
指数函数的图象和性质。
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
1）在[a，b]上，值域是或；
2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
3）对于指数函数，总有；
对数函数。对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
对数函数对底数的限制：，且．
对数函数的性质：
例题：开区间和闭区间的区别。
1、已知在上是减函数，则的取值范围是。
2、已知函数在区间上为减函数，则a的取值范围为 ．
幂函数。1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
2、幂函数性质归纳．
1）所有的幂函数在（0，+∞都有定义并且图象都过点（1，1）；
2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
例题：若幂函数f（x）=xm﹣1在（0，+∞上是减函数，则实数m的取值范围是 ．
函数的应用。
一、方程的根与函数的零点。
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、函数零点的求法：
代数法）求方程的实数根；
几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数．1）△＞方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
2）△＝方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
3）△＜方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
例题：1、已知函数f（x）=x2+px+q与函数y=f（f（f（x）））有一个相同的零点，则f（0）与f（1）（
a．均为正值 b．均为负值。
c．一正一负 d．至少有一个等于0
2、已知函数g（x）=log2x，x∈（0，2），若关于x的方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为 ．
3、已知函数y=f（x）是定义域为r的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0（a、b∈r）有且只有7个不同实数根，则a+b的值是 ．求a的范围 ．
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