一、选择题。
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
a．－24 b．0
c．12 d．24
解析】 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
答案】 a2．设sn为等差数列的前n项和，s8＝4a3，a7＝－2，则a9＝(
a．－6 b．－4
c．－2 d．2
解析】 借助等差数列前n项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到a9的值．
由等差数列性质及前n项和公式，得s8＝＝4(a3＋a6)＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以公差d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.
答案】 a3．在等差数列中，a1＝－2 013，其前n项和为sn，若－＝2，则s2 013的值等于( )
a．－2 012 b．－2 013
c．2 012 d．2 013
解析】 s12＝12a1＋d，s10＝10a1＋d，所以＝＝a1＋d，＝a1＋d，所以－＝d＝2，所以s2 013＝2 013a1＋
d＝2 013(－2 013＋2 012)＝－2 013.
答案】 b4．已知an＝n，把数列的各项排列成如下的三角形状，图7－3－3
记a(m，n)表示第m行的第n个数，则a(10,12)＝(
a. 93 b. 92
c. 94 d. 112
解析】 前9行共有1＋3＋5＋…＋17＝＝81项，所以a(10,12)为数列中的第81＋12＝93项，所以a93＝93，选a.
答案】 a5．已知等比数列的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈n*)，则以下结论一定正确的是( )
a．数列为等差数列，公差为qm
b．数列为等比数列，公比为q2m
c．数列为等比数列，公比为qm2
d．数列为等比数列，公比为qmm
解析】 计算出bn，cn，并结合等差、等比数列的概念判定数列的类型．
bn＝a1qm(n－1)＋a1qm(n－1)＋1＋…＋a1qm(n－1)＋m－1
a1qm(n－1)(1＋q＋…＋qm－1)＝a1qm(n－1)·，qm，是等比数列，公比为qm.
cn＝a1qm(n－1)·a1qm(n－1)＋1·…·a1qm(n－1)＋m－1
是等比数列，公比为qm2.
答案】 c二、填空题。
6．已知等比数列是递增数列，sn是的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则s6
解析】 因为a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且数列是递增的等比数列，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以s6＝＝63.
答案】 63
7．我们把满足an＋an－1＝k(n≥2，k是常数)的数列叫做等和数列，常数k叫做数列的公和．若等和数列的首项为1，公和为3，则该数列前2 014项的和为s2 014
解析】 由题意知an＝则s2 014＝1 007×1＋1 007×2＝ 3 021.
答案】 3 021
8．数列的首项为1，数列为等比数列且bn＝，若b10b11＝2，则a21
解析】 因为b10b11＝2，所以b1b2·…·b20＝(b10b11)10＝210.
又bn＝，所以b1b2·…·b20＝··即＝210，所以a21＝210＝1 024.
答案】 1 024
三、解答题。
9．设是公比为q的等比数列．
1)推导的前n项和公式；
2)设q≠1，证明数列不是等比数列．
解】 (1)设的前n项和为sn，当q＝1时，sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qsn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
－②得，(1－q)sn＝a1－a1qn，sn＝，∴sn＝
2)证明：假设是等比数列，则对任意的k∈n＋，ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
q≠0，∴q2－2q＋1＝0，q＝1，这与已知矛盾．
假设不成立，故不是等比数列．
10．设数列是公差大于零的等差数列，已知a1＝2，a3＝a－10.
1)求数列的通项公式．
2)设数列是以函数y＝4sin2πx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列的前n项和sn.
解】 (1)设数列的公差为d，则。
解得d＝2或d＝－4(舍)，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.
2)因为y＝4sin2πx＝4×
－2cos 2πx＋2，其最小正周期为＝1，故首项为1，因为公比为3，从而bn＝3n－1，所以an－bn＝2n－3n－1，故sn＝(2－30)＋(4－31)＋…2n－3n－1)
－＝n2＋n＋－.
11．已知n∈n*，数列满足dn＝，数列满足an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n；又知数列中，b1＝2，且对任意正整数m，n，b＝b.
1)求数列和数列的通项公式．
2)将数列中的第a1项，第a2项，第a3项，…，第an项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前2 013项和．
解】 (1)∵dn＝，∴an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n＝＝3n.
又由题知：令m＝1，则b2＝b＝22，b3＝b＝23，…bn＝b＝2n，若bn＝2n，则b＝2nm，b＝2mn，所以b＝b恒成立；
若bn≠2n，当m＝1时，b＝b不成立，所以bn＝2n.
2)由题知将数列中的第3项、第6项、第9项、…第3n项删去后构成的新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b1＝2，b2＝4，公比均是8.
t2 013＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2 013)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c2 012)
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