2024年丹东市高三总复习质量测试（一）
数学（理科）试题参***与评分参考。
一、选择题：每小题5分，共60分．
1）a （2）c （3）d （4）b （5）c （6）b
7）a （8）c （9）d （10）c （11）a （12）a
二、填空题：每小题5分，共20分．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17）解：（i）∵，
2分。数列是等差数列4分，∴，数列的通项公式6分。
ii）∵，当时，相减得：
8分。整理得，当时11分。
综上，数列数列的前项和12分。
18）解：（i）∵，由已知，解得4分。
ii）x的取值有0，100，200，300，4006分。
所以的分布列为：
数学期望．………12分。
19）方法1：（i）在正方形中， ，平面平面，交线是，∴平面， ，平面2分。
如图空间直角坐标系，则：
则。∴，设平面的一个法向量为，则即，取，解得，而， ，又平面，∴平面6分。
ii）∵，平面，，∴可以取的一个法向量，，二面角是锐二面角，二面角的余弦值是12分。
方法2：（i）分别取、的中点是，连结，则，，又，四边形是平行四边形，∴，
又平面，∴平面6分。
ii）在正方形中，∴ 平面平面，交线是，∴平面， ，平面8分。
如图空间直角坐标系，则：
则。∴，设平面的一个法向量为，则即，取，解得，，∴平面，，∴可以取的一个法向量，，二面角是锐二面角，二面角的余弦值是12分。
20）解：（i）∵，设，，∴的方程是2分，∵，而，，△为等腰三角形4分。
ii）设，则切线的方程是，由，得6分。
在：上8分。
显然直线斜率存在，设：，由，得，∴，直线：，
到直线距离，，当时，取最小值，由，得的方程是12分。
21）解：（i），令，得，列表。
当时，函数取极大值，没有极小值4分。
ii）∵，由（i）知，时，，时，因此我们研究在时的最大值即可6分，设，则，当时，，当时，在单调递减，在调递增，在上有唯一零点，设为，则，当时，，当时，有最大值，且12分。
22）证明：（i）∵是圆的切线，∴，而，又是的平分线，，∴平分5分。
ii）由（i）可证∽，∴
又是的平分线，∴，10分。
23）解：（i）∵，圆的直角坐标方程为：，圆心的直角坐标为，极坐标为5分。
ii）直线的参数方程可写为：（为参数），代入圆的直角坐标方程中得：，设两点所对应的参数分别为，则，10分。
24）证明：（i）∵，即5分。
ii）∵，即，10分。
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