问题：如图1，点在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小。
小明的思路是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为所求。
请你参考小明同学的思路，**并解决下列问题：
1）如图3，在图2的基础上，设与直线的交点为，过点作，垂足为。 若，，，写出的值；
2）将（1）中的条件“”去掉，换成“”，其它条件不变，写出此时的值；
3）请结合图形，直接写出的最小值。
22．解：（1）的值为．（2）的值为5．
3）的最小值为． 4分。
09朝阳一模）23. （本小题5分）
将图①，将一张直角三角形纸片abc折叠，使点a与点c重合，这时de为折痕，cbe为等腰三角形；再继续将纸片沿△cbe的对称轴ef折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.
图图图③1）如图②，正方形网格中的△abc能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；
2）如图③，在正方形网格中，以给定的bc为一边，画出一个斜三角形abc，使其顶点a在格点上，且△abc折成的“叠加矩形”为正方形；
3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是 ；
4）如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”，那么它必须满足的条件是。
23. （本小题5分）
说明：只需画出折痕。）
2）（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可。）
3）三角形的一边长与该边上的高相等3分。
4）对角线互相垂直。（注：回答菱形、正方形不给分5分。
09海淀一模）22．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对。
顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个。
四边形的一对等高点。例如：如图1,平行四边形abcd
中，可证点a、c到bd的距离相等，所以点a、c是。
平行四边形abcd的一对等高点，同理可知点b、d
也是平行四边形abcd的一对等高点图1
1）如图2，已知平行四边形abcd, 请你在图2中画出一个只有一对等高点的四。
边形abce（要求：画出必要的辅助线）；
2）已知p是四边形abcd对角线bd上任意一点（不与b、d点重合），请分别。
**图3、图4中s1, s2, s3, s4四者之间的等量关系(s1, s2, s3, s4分别表示△abp,
cbp, △cdp, △adp的面积)：
如图3，当四边形abcd只有一对等高点a、c时，你得到的一个结论是 ；
如图4，当四边形abcd没有等高点时，你得到的一个结论是。
图2图3图4
22．解。1）比如或1分。
2）①s1 +s4 = s2 +s3, s1 +s3 = s2 +s4或s1s3 = s2s4或等。 …2分。
s1s3 = s2s4或等。
24．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流。
原问题：如图1，已知△abc, ∠acb=90 , abc=45，分别以ab、bc为边向外作△abd与△bce, 且da=db, eb=ec，∠adb=∠bec=90，连接de交ab于点f. **线段df与ef的数量关系。
小慧同学的思路是：过点d作dg⊥ab于g,构造全等三角形，通过推理使问。
题得解。小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠abc=30,∠adb=∠bec=60.
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。
请你参考小慧同学的思路，**并解决这三位同学提出的问题：
1）写出原问题中df与ef的数量关系；
2）如图2，若∠abc=30，∠adb=∠bec=60，原问题中的其他条件不变，你在。
1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
3）如图3，若∠adb=∠bec=2∠abc, 原问题中的其他条件不变，你在（1）中。
得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。
图1图2图3
24. 解： （1）df= ef1分。
（2）猜想：df= fe.
证明：过点d作dg⊥ab于g, 则∠dgb=90.
da=db, ∠adb=60.
ag=bg, △dba是等边三角形。
db=ba.
∠acb=90 , abc=30, ac=ab=bg2分。
△dbg≌△bac.
dg=bc3分。
be=ec, ∠bec=60 , ebc是等边三角形。
bc=be, ∠cbe=60.
dg= be, ∠abe=∠abc+∠cbe=90 .
∠dfg =∠efb, ∠dgf =∠ebf, △dfg≌△efb.
df= ef4分。
3）猜想：df= fe.
证法一：过点d作dh⊥ab于h, 连接hc, he, he交cb于k, 则∠dhb=90.
da=db,
ah=bh, ∠1=∠hdb.
∠acb=90, hc=hb.
eb=ec, he=he, △hbe≌△hce5分。
∠2=∠3, ∠4=∠beh.
hk⊥bc.
∠bke=906分。
∠adb=∠bec=2∠abc, ∠hdb=∠beh=∠abc.
∠dbc=∠dbh+∠abc =∠dbh+∠hdb=90，ebh=∠ebk+∠abc =∠ebk+∠bek=90.
db//he, dh//be.
四边形dheb是平行四边形。
df=ef7分。
证法二：分别过点d、e作dh⊥ab于h, ek⊥bc于k, 连接hk, 则。
dhb=∠ekb=90.
∠acb=90, ek//ac.
da=db, eb=ec, ah=bh, ∠1=∠hdb,
ck=bk, ∠2=∠bek.
hk//ac.
点h、k、e在同一条直线上5分。
下同证法一。
09延庆一模）23. 阅读理解：对于任意正实数，只有当时，等号成立．
结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．
根据上述内容，回答下列问题：
1） 若，只有当时，有最小值。
2） 探索应用：已知，，点p为双曲线上的任意一点，过点作轴于点， ．
求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状．
探索应用：设， 则，3分。
化简得4分。
只有当。s≥2×6＋12＝24，s四边形abcd有最小值245分
此时，p(3,4),c(3,0),d(0,4),ab=bc=cd=da=5,∴四边形abcd是菱形．……6分。
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