第一节模糊极值。
第二节具有弹性约束的模糊规划。
第三节具有模糊系数的模糊规划。
第一节模糊极值。
以条件极大值为例来进行讨论。
一、有界函数的极值和模糊极值。
定义 1 设；，为有界函数，令。
称为的优越集。为函数的极值（最大值）。显然。
定义种指的是经典极值的概念。当我们达到了最优目标，当时，虽然未达到最优目标，但是各点程度确有很大的差别。为了全面反映各点的优越程度，可以设想一个模糊优越集，以它的隶属函数来表示各点的优越程度。
达到最大值的点隶属度为1，达到最小值的点隶属度为0，其它的点的隶属度介于区间内。
定义2 设为有界函数，构造模糊集如下：
称为函数的无条件模糊优越集，并称为函数的无条件模糊极大值，其中。
当，；当，；当，时。因此反映了在模糊意义下的优越程度。反映了在模糊意义下，对的模糊极大值的隶属程度。
二、普通限制下，目标函数的极值与模糊极值。
定义3 设目标函数，而为限制条件，令。
若，则称为在上的优越集，称为为在上的条件极大值。显然。
定义4，而，令
称为在上的（条件）模糊优越集。称为在上的（条件）模糊极大值。
反映了在接受的限制下，对整个目标函数来说，作为模糊极大值的隶属度，它既反映了接受的限制，又反映了在整个目标函数中所处的地位。
三、模糊限制下，目标函数的模糊极值。
定义5，而是上的模糊子集，令
称为在上的（条件）模糊优越集。称为在上的（条件）模糊极大值。其中。
四、模糊极值的求解。
要求解模糊极值问题可以用以下步骤：
1）压缩映射：求无条件模糊优越集：
2）模糊判决：求条件模糊优越集。
3）确定判决：选择满足。
定义6 称为对目标的可能度，称为的在限制下的最佳点。
有时我们也将这种决策问题称为模糊规划问题，即就是要在给定的目标与限制的情况下，寻求最佳点，并估计可能度。可能度反映了在限制的情况下，能达到理想目标的最大可能性，而最佳点是为了实现这种可能性所应选择的。
例1 在某种食品中投放某种味剂，每公斤食品中的含量设为克，对顾客爱好作调查统计，得到爱好函数为。
对于使爱好函数值越大的值，所制产品越畅销，因而收益越大，但是由于成本核算等其它原因，对值需要进行限制，这种限制集合的边界是模糊的，即限制在模糊集合上，设。
试确定合理的剂量，使得在接受限制的要求下获得最优收益。
解：1）压缩映射：由于导数。
当时，求得。又由于当时，当时。仪因而因此。
2）模糊判决：
从图可以看出。
其中满足方程。
3）确定判决：
因此，最佳剂量满足（5.14），可以求出。
克）限制对目标的可能度，要实现这种可能性，应选择调味剂的最佳剂量为2.085克。
从这个例子可以看出，如果将限制条件确切化，要求以核为限制条件，那么就是一个普通规划问题，所得结论是应选择最佳剂量为1克。从限制的条件已是100％遵守，但是所能达到的最高目标相对整个目标函数来说是很低的，由，说明相对整个目标函优越程度仅达到24.6％。
如果放松限制，即在模糊限制条件，当水平选择适当时，可以获得较好的目标值。
第二节具有弹性约束的模糊规划。
一、单目标具有弹性约束的模糊规划。
经典线性规划问题的模型为。
其中 ，，也可以写为。
但是生活中的线性规划问题常常带有模糊性，可以看下面的例子。
例1 某企业根据市场信息及自身生产能力，准备开发甲乙两种系列产品，甲种系列产品最多大约能生产400套，乙种系列产品最多大约能生产250套。据测算：
甲每套成本3万元，获纯利润7万元；乙每套成本2万元，获纯利润3万元。生产两种系列产品的资金总投入大约不能超过1500万元。问如何安排生产才能使企业获利最多？
设生产甲套，生产乙套，则可以建立模型如下：
这是一个具有弹性约束的线性规划问题，它与普通线性规划不同，称为具有弹性约束的模糊规划。其一般模型为。
也可以写为。
其中“”表示"近似的小于或等于"，它是一个模糊概念，可以用模糊集来表示。
设表示的第行，表示“近似的小于或等于”。当时，应有；适当选取一个伸缩系数，当时，应有；伸缩系数越小，表示第个约束越严格。当满足：时，应从1下降到0，于是应有的隶属函数：（）
于是我们将弹性约束转化为模糊约束，令。
全部的约束条件便转化为一个模糊约束。约束条件的弹性必然导致目标的弹性，为此我们将目标函数模糊化。先求解两个经典线性规划：
其中为伸缩系数构成的向量。设。
即是两个普通线性规划的最优目标值的差。
将转化为（近似的大于或等于），我们用模糊集来表达，其隶属函数定义为。
按对称型决策思想，可以定义模糊线性规划问题的模糊决策：
最佳决策为满足。
若令，则有。
于是求最佳决策的问题就转化为求解以下的普通线性规划问题：
可得最佳决策，目标函数指为。
例1 求解模糊线性规划。
设约束（1）、（2）、（3）的伸缩系数分别为：
元），（套），（套）
为了将目标函数模糊化，先解经典线性规划问题。
用单纯形法求得：，，
再解经典线性规划问题。
用单纯形法求得：，，于是。
将带入（5.24）得。
上述线性规划问题的最优解为，因此，安排甲种系列产品403套，乙种系列产品159套，能获最大利润为：
万元）二、多目标具有弹性约束的模糊规划。
关于弹性约束的转换为模糊约束（）的方法如前所述，仍记：
由于现在考虑的线性规划是多目标，要想在某个点处使这些目标函数同时达到各自的最大值往往是不可能的。需考虑某种这种方案，使各目标函数值相对的极大。为此，将各个目标函数模糊化。
先求解经典线性规划：， 5.28）
给出第个目标的伸缩指标为，，越重要的目标其伸缩指标要越小。将每个目标模糊化，与第个目标对应的模糊目标为模糊集，其隶属函数定义为。
令。称其为模糊目标。
按对称型决策思想，可以定义模糊线性规划问题的模糊决策：
最佳决策为满足。
若令，则有。
于是求最佳决策的问题就转化为求解以下的普通线性规划问题：
或。可得最佳决策，目标函数指为，。
第三节具有模糊系数的模糊规划。
一、模型。我们考虑如下线性规划问题：
其中：，，都是有模糊数构成的矩阵。而是普通的实数向量。
也可以写为。
称其为具有模糊数系数的线性规划问题。在这个模型中，是普通的实数向量。进一步，当也是模糊数向量时，我们得到更一般的具有模糊数系数的线性规划问题：
二、闭区间数。
引入了闭区间数的概念，并定义了闭区间数之间的运算，为了说明模糊数的运算，我们给出区间数及其运算。
定义1 设，称有限闭区间为上的闭区间数，其中且。特别的，，认为。记。
显然。下面的定义给出了闭区间数的运算。
定义2 设*是的一个代数运算，，可以将*扩张为和之间的运算：
特别地，当*分别是时，我们得到：
当，时，有）
当且仅当且。
定义2 设是实数域上的全体模糊子集所成的集合，成为一个模糊数，如果满足条件：
2）是凸集；
进一步，如果还满足：
3）是有界闭集；
则称是有界闭模糊数。
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