金山中学2015学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷。
考试时间：90分钟满分：100分命题人：张红卫审核人：俞丹萍）
一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分3分）
1．直线的倾斜角为，则的值是。
2．若实数满足不等式组，则的最大值为 .
3．设复数满足，则。
4．已知直线与圆相切，则的值为__
5．已知方程表示椭圆，则的取值范围为。
6．若直线经过原点，且与直线的夹角为300，则直线方程为。
7．过点且方向向量为的直线与双曲线仅有一个交点，则实数的值为。
8．已知点p是椭圆上的在第一象限内的点，又、，o是原点，则四边形oapb的面积的最大值是。
9．若点o和点f分别为双曲线的中心和左焦点，点p为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为。
10．双曲线的焦点为f1、f2，，p在双曲线上 ，且满足：，则的面积是。
11．若点在直线上的射影是，则的轨迹方程。
是。12．已知点在直线上，点在直线上，pq的中点为，且，则的取值范围是。
二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分3分）
13．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数的”（
（a）充分不必要条件b） 必要不充分条件
c）充分必要条件d）既不充分也不必要条件。
14．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ ）
a） （b） （c） （d）
15．设曲线c的参数方程为为参数，直线的方程为，则曲线c上到直线的距离为的点的个数为（ ）
a） 1 （b） 2 （c） 3d） 4
16. 已知曲线：（）下列叙述中正确的是（ ）
a）垂直于轴的直线与曲线存在两个交点。
b）直线（）与曲线最多有三个交点。
c）曲线关于直线对称。
d）若为曲线上任意两点，则有。
三、解答题（本大题满分52分）
17．（本题满分6分）
求以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程。
18．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
设是方程的一个根．
1）求；（2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求。
19．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
如图， 直线与抛物线交于a、b两点， 线段ab的垂直平分线与直线交于q点。
1) 求点q的坐标；
2) 当p为抛物线上位于线段ab下方(含a、b) 的动点时， 求δopq面积的最大值。
20．（本题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市o（如图）的东偏南方向的海面p处，并以的速度向西偏北方向移动。 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大。 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
21．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
椭圆和椭圆满足椭圆，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．
1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；
2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于a、b两点（其中点a**段ob上），求的最大值和最小值；
3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆和交于a、b两点，p为线段ab上的一点，若，成等比数列，则点p的轨迹方程为”。请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明。
金山中学2015学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷。
参***。一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分3分）
1．直线的倾斜角为，则的值是3
2．若实数满足不等式组，则的最大值为 6
3．设复数满足，则。
4．已知直线与圆相切，则的值为___或-18
5．已知方程表示椭圆，则的取值范围为___
6．若直线经过原点，且与直线的夹角为300，则直线方程为或。
7．过点且方向向量为的直线与双曲线仅有一个交点，则实数的值为。
8．已知点p是椭圆上的在第一象限内的点，又、，o是原点，则四边形oapb的面积的最大值是。
9．若点o和点f分别为双曲线的中心和左焦点，点p为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为。
10．双曲线的焦点为f1、f2，，p在双曲线上 ，且满足：，则的面积是1
11．若点在直线上的射影是，则的轨迹方程。
是。12．已知点在直线上，点在直线上，pq的中点为，且，则的取值范围是。
二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分3分）
13．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数的”（ b ）
（a）充分不必要条件b） 必要不充分条件
c）充分必要条件d）既不充分也不必要条件。
14．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ b ）
a） （b） （c） （b）
15．设曲线c的参数方程为为参数，直线的方程为，则曲线c上到直线的距离为的点的个数为 ( b )
a） 1 （b） 2 （c） 3d） 4
16. 已知曲线：（）下列叙述中正确的是 ( b )
a）垂直于轴的直线与曲线存在两个交点。
b） 直线（）与曲线最多有三个交点。
c）曲线关于直线对称。
d）若为曲线上任意两点，则有。
三、解答题（52分）
17.（6分）求以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程。
解：抛物线的焦点f(1,02分。
因为圆过原点，所以半径r=14分。
所以所求的圆的标准方程为6分。
18.（10分）设是方程的一个根．
1）求；2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求．
解 （1） 因为，所以或． …4分。
2）由，得，． 8分。
当时10分。
当时，． 19.（10分）如图， 直线y=x与抛物线y=x2－4交于a、b两点， 线段ab的垂直平分线与直线y=－5交于q点。
1) 求点q的坐标；
2) 当p为抛物线上位于线段ab下方。
含a、b) 的动点时， 求δopq面积的最大值。
解：(1)解方程组得 a(-4,-2),b(8,4).
从而ab的中点为m(2,1).
直线ab的垂直平分线方程为。
令y=-5,得x=5.
q(5,-5). 4分。
2)直线oq的方程为。
设。点p到直线oq的距离。
当x=8时，△opq的面积取到最大值3010分。
20.（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市o（如图）的东偏南方向300km的海面p处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动。 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大。
问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
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