六年级寒假。
第一讲速算与巧算。
当一道计算题看起来比较复杂时,首先要认真观察算式的特点,看看能不能运用计算定律、性质使计算简便,同时还要分析算式中的数据,看看有没有什么规律可供利用。
例1 计算:=?20xx年全国小学数学奥林匹克决赛题)
解:认真观察算式的特点发现:
1)分子和分母都是由5项组成,每项又都是3个自然数的连乘积;
2)分子第二项的每个因数,分别是第一项每个因数的2倍,第三项的每个因数,分别是第一项每个因数的3倍,……
3)分母第二项的每个因数,分别是第一项每个因数的2倍,第三项的每个因数,分别是第一项每个因数的3倍,……
于是分子可以提出公因式1×3×5,分母可以提出公因式1×2×3。这样就找到了巧算的方法:
原式===例2 计算 。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)
解:观察发现,如果把分母中2004×2005的2004变成2003+1,就会出现与分子相同的部分,于是。原式==
例3 计算 1994+-1+2-3+4-5+…+1992-1993。(第六届《小学生数学报》数学竞赛决赛题)
解:首先把整数和分数分别计算:
原式=(1994-1+2-3+4-…+1992-1993
观察发现,两个括号里各有1994项。
原式=997+166=1163
例4 计算 (+
解:观察发现,算式具有极为鲜明的特点,就是被除式和除式都与有密切的联系,由此想到,如果根据商不变性质,用同时除一下被除式和除式,一定会使算式简化。于是。原式。
练习一。1.计算 。(第五届《小学生数学报》数学竞赛决赛题)
2.计算 。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)
3.计算 73÷8+44÷43。(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)
4.计算 85×+71×+56×。(陈省身小学数学邀请赛试题)
5.(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×5×7×9×11×13×15)=?20xx年全国奥赛预赛题)
6. 4×5+5×6+6×7+7×8+8×9=?(20xx年全国小学数学奥林匹克预赛题)
7.计算:(1×2×3×4×…×9×10×11)÷(27×25×24×22)=?20xx年全国小学数学奥林匹克预赛题)
8.计算:3.6×42.3×3.75-12.5×0.423×28=?(20xx年全国小学数学奥林匹克预赛题)
9.计算:(8.4×0.25+9.7)÷(1.05÷15+84÷2.8)=?20xx年全国小学数学奥林匹克决赛题)
10.(8.4×2.5+9.7)÷(1.05÷1.5+8.4÷0.28)=?20xx年全国小学数学奥林匹克决赛题)
11.[(5-4.25)×]3.3÷1=?(20xx年全国小学数学奥林匹克决赛题)
12. 1×(3-1)×0.7×28=?(九章杯数学竞赛初赛题)
第二讲速算与巧算(二)
例1 计算 ++第三届《小学生数学报》数学竞赛决赛题)
解:观察发现,这道题与上学期我们学过的“裂项相消法”极其类似,为了找到巧算的方法,任意取出一项来研究,比如第二项,首先想到这个分数会不会与和有什么内在联系,-=再取出,-=于是想到下面的巧算方法:原式。
例2 计算 ++吉林省第九届小学数学邀请赛试题)
解:这道题与例1有相似的结构,很自然地想到,是否也可以用“裂项相消法”。试算发现,=-果然有可以相互抵消的部分。于是,原式。
例3 计算 ++吉林省第九届小学数学邀请赛试题)
解:观察发现,只要给各项的分子先减去1,再加上1,就能分离出与分母相同的部分,使算式简化。于是。
原式=++1++1++1++1++1++1+。
进一步观察又发现,32-1=8=2×4,52-1=24=4×6,……于是,原式=6+(+
例4 计算 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512。(陈省身小学数学邀请赛试题)
解:观察发现,相邻两个分数的整数部分,后一个数是前一个数的2倍;相邻两个分数的分数部分,后一个数是前一个数的。于是想到:
如果给整数部分再加上1,与原有的1合成2,再与原有的2合成4,……依次类推,最后得到2个512,等于1024,所以,原来的整数部分应该是1024-1=1023;如果给分数部分再加上,与原有的合成,再与原有的合成,……依次类推,最后得到2个,等于1,所以原来的分数部分应该是1-=。因此,原式的得数是1023。
原式=(1+1+2+4+8+16+32+64+128+256+512-1
练习二。1.计算:++哈尔滨数学竞赛题)
2.计算 1+3+5+7+9+11。(2024年南京市数学竞赛决定题)
3.计算 [(3]÷。六一杯”小学数学竞赛题)
4.计算 ++吉林省第九届小学数学邀请赛试题)
5.计算 ++吉林省第九届小学数学邀请赛试题)
6.计算 ++吉林省第九届小学数学邀请赛试题)
7.计算陈省身小学数学邀请赛试题)
8.计算 ++20xx年浙江省小学数学竞赛试题)
9.计算 ++吉林省第九届小学数学邀请赛试题)
10.计算 ++吉林省第九届小学数学邀请赛试题)
11.计算 ++吉林省第九届小学数学邀请赛试题)
12.计算20xx年全国奥赛预赛题)
第三讲数列与数表。
例1 计算:= 20xx年全国奥赛预赛题)
解:经验告诉我们,象分母这样的数列的和,总是等于中心数的平方。如1+2+1=22,1+2+3+2+1=32,1+2+3+4+3+2+1=42,所以,分母=102。
分子=(22-12)+(42-32)+…1002-992)。这里要用到一个公式:a2-b2=(a+b)×(a-b),给a、b不同的数值,很容易验证它的正确性。
所以,分子=(2+1)×(2-1)+(4+3)×(4-3)+…100+99)×(100-99)=3+7+11+…+199,根据等差数列的求和公式,分子==101×50。原式===50。
例2 将14个互不相同的自然数从小到大排成一列,已知其总和为170,如果去掉最大的数和最小的数,那么剩下的数的总和为150,原来第二个数是 。(2024年全国奥赛决赛题)
解:由题意可知最大数与最小数之和为170-150=20,所以最大数不超过19。如果是19,去掉最大数和最小数后剩下的12个数的和是7+8+9+…+18==150,满足要求;当最大数小于19,其余12个数的和小于150,不符合题意。
所以原数列的第二个数是7。
例3 把63表示成几个连续自然数的和,不同的方法有种。
解:(1)显然63=31+32;
2)因为63=21×3,所以,可以把63表示成3个连续自然数的和,其中间数为21,于是,63=20+21+22;
3)因为63=9×7,所以,63=6+7+8+9+10+11+12;
4)因为63=7×9,所以,63=3+4+5+6+7+8+9+10+11。
因此,把63表示成几个连续自然数的和,一共有4种不同方法。
例4 北京的小朋友小京将自然数1~2008按以下格式排列:
他请上海的小朋友小沪用3×4(3行4列)的长方形框出12个数,使它们的和是2010。那么这12个数中最大的数是多少?(20xx年小学数学奥林匹克预赛题)
解:设最大的数是x。x+(x-1)+(x-2)+(x-3)+(x-7)+(x-8)+(x-9)+(x-10)+(x-14)+(x-15)+(x-16)+(x-17)=2010, 12x-102=2010,x=176。
练习三。1.将210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么第一个数a与第六个数b分别是多少?(2024年全国奥赛预赛题)
2.电视台要**30集电视连续剧。如果要求每天安排播出的集数互不相等,该电视连续剧最多可以播多少天?(第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛题)
3.黑板上写着从1开始的若干个连续自然数,擦去其中的一个后,其余各数的平均数是35,擦去的数是多少?(20xx年全国奥赛预赛题)
4. 有若干人的年龄的和是4476岁, 其中年龄最大的不超过79岁, 最小的不低于30岁, 而年龄相同的人不超过3人, 那么,这些人中至少有多少位老年人(年龄不低于 60 岁的为老年人)? 2001 年全国奥赛预赛题)
5.有一串分数其中第2001个分数是多少?(20xx年全国奥赛预赛题)
小学数学竞赛学习材料 六年级寒假
六年级寒假。第一讲速算与巧算。当一道计算题看起来比较复杂时,首先要认真观察算式的特点,看看能不能运用计算定律 性质使计算简便,同时还要分析算式中的数据,看看有没有什么规律可供利用。例1 计算 2001年全国小学数学奥林匹克决赛题 解 认真观察算式的特点发现 1 分子和分母都是由5项组成,每项又都是3...
小学数学课外学习材料六年级寒假
六年级寒假。第一讲一般应用题。例 1 思美时装屋买进一批手提包,成本每只 80 元,按每只 140 元 当卖到还剩 1 只时,除了已经收回全部成本以外,还赚了 460 元。这批手提包有多少只?解题思路 所赚的钱是一点一点积累起来的,每卖一只可以赚 140 80 60 元 可以设想,把剩下的 1 只也...
八年级2024年寒假自主学习材料
学习时间完成时间家长签字 一 基础积累 1 把 过零丁洋 山坡羊潼关怀古 两首诗工整的用楷书抄写在下面。2 把八下第二单元的字词整理在下面。要求注音书写工整。二 读书活动。今天你读完了 简爱 的5 10章 艰难中成长 了吗?请写下你的读书笔记。书目 简爱时间 摘抄 故事梗概 读书感悟 二 阅读提升 ...