六年级寒假。
第一讲速算与巧算。
当一道计算题看起来比较复杂时，首先要认真观察算式的特点，看看能不能运用计算定律、性质使计算简便，同时还要分析算式中的数据，看看有没有什么规律可供利用。
例1 计算：＝？2023年全国小学数学奥林匹克决赛题)
解：认真观察算式的特点发现：
1)分子和分母都是由5项组成，每项又都是3个自然数的连乘积；
2)分子第二项的每个因数，分别是第一项每个因数的2倍，第三项的每个因数，分别是第一项每个因数的3倍，……
3)分母第二项的每个因数，分别是第一项每个因数的2倍，第三项的每个因数，分别是第一项每个因数的3倍，……
于是分子可以提出公因式1×3×5，分母可以提出公因式1×2×3。这样就找到了巧算的方法：
原式＝＝＝例2 计算 。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题）
解：观察发现，如果把分母中2004×2005的2004变成2003＋1，就会出现与分子相同的部分，于是。原式＝＝
例3 计算 1994＋－1＋2－3＋4－5＋…＋1992－1993。(第六届《小学生数学报》数学竞赛决赛题)
解：首先把整数和分数分别计算：
原式＝(1994－1＋2－3＋4－…＋1992－1993
观察发现，两个括号里各有1994项。
原式＝997＋166＝1163
例4 计算 （＋
解：观察发现，算式具有极为鲜明的特点，就是被除式和除式都与有密切的联系，由此想到，如果根据商不变性质，用同时除一下被除式和除式，一定会使算式简化。于是。原式。
练习一。1．计算 。(第五届《小学生数学报》数学竞赛决赛题)
2．计算 。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题）
3．计算 73÷8＋44÷43。（吉林省第九届小学数学邀请赛试题）
4．计算 85×＋71×＋56×。（陈省身小学数学邀请赛试题）
5．(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×5×7×9×11×13×15)＝？2023年全国奥赛预赛题)
6. 4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＝？(2023年全国小学数学奥林匹克预赛题)
7．计算：(1×2×3×4×…×9×10×11)÷(27×25×24×22)＝？2023年全国小学数学奥林匹克预赛题)
8．计算：3.6×42.3×3.75－12.5×0.423×28＝？(2023年全国小学数学奥林匹克预赛题)
9．计算：(8.4×0.25＋9.7)÷(1.05÷15＋84÷2.8)＝？2023年全国小学数学奥林匹克决赛题)
10．(8.4×2.5＋9.7)÷(1.05÷1.5＋8.4÷0.28)＝？2023年全国小学数学奥林匹克决赛题)
11．[(5－4.25)×]3.3÷1＝？(2023年全国小学数学奥林匹克决赛题)
12. 1×(3－1)×0.7×28＝？(九章杯数学竞赛初赛题)
第二讲速算与巧算（二）
例1 计算 ＋＋第三届《小学生数学报》数学竞赛决赛题)
解：观察发现，这道题与上学期我们学过的“裂项相消法”极其类似，为了找到巧算的方法，任意取出一项来研究，比如第二项，首先想到这个分数会不会与和有什么内在联系，－＝再取出，－＝于是想到下面的巧算方法：原式。
例2 计算 ＋＋吉林省第九届小学数学邀请赛试题）
解：这道题与例1有相似的结构，很自然地想到，是否也可以用“裂项相消法”。试算发现，＝－果然有可以相互抵消的部分。于是，原式。
例3 计算 ＋＋吉林省第九届小学数学邀请赛试题）
解：观察发现，只要给各项的分子先减去1，再加上1，就能分离出与分母相同的部分，使算式简化。于是。
原式＝＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋。
进一步观察又发现，32－1＝8＝2×4，52－1＝24＝4×6，……于是，原式＝6＋（＋
例4 计算 1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256＋512。（陈省身小学数学邀请赛试题）
解：观察发现，相邻两个分数的整数部分，后一个数是前一个数的2倍；相邻两个分数的分数部分，后一个数是前一个数的。于是想到：
如果给整数部分再加上1,与原有的1合成2，再与原有的2合成4，……依次类推，最后得到2个512，等于1024，所以，原来的整数部分应该是1024－1＝1023；如果给分数部分再加上，与原有的合成，再与原有的合成，……依次类推，最后得到2个，等于1，所以原来的分数部分应该是1－＝。因此，原式的得数是1023。
原式＝（1＋1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256＋512－1
练习二。1．计算：＋＋哈尔滨数学竞赛题)
2．计算 1＋3＋5＋7＋9＋11。(2023年南京市数学竞赛决定题)
3．计算 [(3]÷。六一杯”小学数学竞赛题)
4．计算 ＋＋吉林省第九届小学数学邀请赛试题）
5．计算 ＋＋吉林省第九届小学数学邀请赛试题）
6．计算 ＋＋吉林省第九届小学数学邀请赛试题）
7．计算陈省身小学数学邀请赛试题）
8．计算 ＋＋2023年浙江省小学数学竞赛试题）
9．计算 ＋＋吉林省第九届小学数学邀请赛试题）
10．计算 ＋＋吉林省第九届小学数学邀请赛试题）
11．计算 ＋＋吉林省第九届小学数学邀请赛试题）
12．计算2023年全国奥赛预赛题)
第三讲数列与数表。
例1 计算：＝ 2023年全国奥赛预赛题)
解：经验告诉我们，象分母这样的数列的和，总是等于中心数的平方。如1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，所以，分母＝102。
分子＝(22－12)＋(42－32)＋…1002－992)。这里要用到一个公式：a2－b2＝(a＋b)×(a－b)，给a、b不同的数值，很容易验证它的正确性。
所以，分子＝(2＋1)×(2－1)＋(4＋3)×(4－3)＋…100＋99)×(100－99)＝3＋7＋11＋…＋199，根据等差数列的求和公式，分子＝＝101×50。原式＝＝＝50。
例2 将14个互不相同的自然数从小到大排成一列，已知其总和为170，如果去掉最大的数和最小的数，那么剩下的数的总和为150，原来第二个数是 。(2023年全国奥赛决赛题)
解：由题意可知最大数与最小数之和为170－150＝20，所以最大数不超过19。如果是19，去掉最大数和最小数后剩下的12个数的和是7＋8＋9＋…＋18＝＝150，满足要求；当最大数小于19，其余12个数的和小于150，不符合题意。
所以原数列的第二个数是7。
例3 把63表示成几个连续自然数的和，不同的方法有种。
解：(1)显然63＝31＋32；
2)因为63＝21×3，所以，可以把63表示成3个连续自然数的和，其中间数为21，于是，63＝20＋21＋22；
3)因为63＝9×7，所以，63＝6＋7＋8＋9＋10＋11＋12；
4)因为63＝7×9，所以，63＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11。
因此，把63表示成几个连续自然数的和，一共有4种不同方法。
例4 北京的小朋友小京将自然数1～2008按以下格式排列：
他请上海的小朋友小沪用3×4(3行4列)的长方形框出12个数，使它们的和是2010。那么这12个数中最大的数是多少？(2023年小学数学奥林匹克预赛题)
解：设最大的数是x。x＋(x－1)＋(x－2)＋(x－3)＋(x－7)＋(x－8)＋(x－9)＋(x－10)＋(x－14)＋(x－15)＋(x－16)＋(x－17)＝2010, 12x－102＝2010，x＝176。
练习三。1．将210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么第一个数a与第六个数b分别是多少？(2023年全国奥赛预赛题)
2．电视台要**30集电视连续剧。如果要求每天安排播出的集数互不相等，该电视连续剧最多可以播多少天？(第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛题)
3．黑板上写着从1开始的若干个连续自然数，擦去其中的一个后，其余各数的平均数是35，擦去的数是多少？(2023年全国奥赛预赛题)
4. 有若干人的年龄的和是4476岁， 其中年龄最大的不超过79岁， 最小的不低于30岁， 而年龄相同的人不超过3人， 那么，这些人中至少有多少位老年人(年龄不低于 60 岁的为老年人)? 2001 年全国奥赛预赛题)
5．有一串分数其中第2001个分数是多少？(2023年全国奥赛预赛题)
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