《数学思考》教案
数学思考》整理复习。
一）找规律。
例1要求平面上几个点可以连多少条线段，让学生通过寻找增加的点数和增加的线段数之间的关系，是一个以几何内容为载体逐步发现规律的例题。此题的编排目的是为了让学生通过动手操作、观察比较，归纳得出其中的规律，推理出两者的关系，发展合情推理思想。
例题以“6个点可以连多少条线段？8个点呢？”为例，让学生在尝试初期感受连线的混乱，从而产生“从简单入手”的自主需求，同时也经历“化繁为简”的数学思考过程。
而引导学生“从2个点开始，逐渐增加点数，找找规律”，让他们在增加点的同时，有顺序地连线，并记录线段增加的条数，有利于学生理解其中的原理，逐步发现规律。而将不同点数连成的线段数用算式表示出来，可使规律进一步显现并清晰，为学生表述规律提供支撑。“根据规律，你知道12个点、20个点能连多少条线段吗？
请写出算式。”既是规律的运用，也可以借此提炼计算方法。“想一想，n个点能连多少条线段？
”可以提升学生的数学表达能力，发展代数思想。“做一做”是经典的“正方形数”（也就是“平方数”），每条边上棋子数的平方就是棋子的总数。
二）列表推理。
例2通过列表的方法，逐步缩小与a同班的人的范围，最终确认唯一符合要求的人。这种不断排除矛盾、推出必然结果的思维方式，是一种演绎推理。
例2对于学生来说是一个比较复杂的逻辑推理问题，教材引导学生“用列表的方式试一试”，意图借助列表逐步缩小范围，找到答案。此题让学生体会逻辑推理的常用策略“排除法”。在**中，“1”和“0”分别代表“到会”与“缺席”。
通过列表的方法，可以直观、清晰地呈现已有信息，有利于学生整体把握信息之间的联系，推理得出结论。随后引导学生“想”介绍了依据**完整推理出a、d必然同班的过程，其实质就是两人不可能同时参会，也不会同时不到会。依据这种思路，学生可以自己推理出b、c分别与谁同班，进一步感受列表分析的优势。
教材中的“做一做”是新增加的内容，既可以列表解决问题，也可以直接推理。例如，因为丁叔叔不是工人，那么他只能是教师或军人。如果他是教师，那么他和王阿姨就职业相同，这与“只有刘阿姨和李叔叔职业相同”产生矛盾，由此可以得出丁叔叔是军人的结论。
三）等量代换。
例3是等量代换的内容。等量代换指的是把一个量用与它相等的量去代替。这种思想是演绎推理的基础，在《几何原本》中，第一条公理就是“等于同量的量彼此相等”。
例3，利用等量代换进行推理，为中学学习解方程做准备。第（1）小题实际上就是解二元一次方程组的代入消元法。寻找两个式子中的共同量，通过代入求值，就是一个演绎推理的过程。
例3的第（2）小题，以一个简单的数学问题，引导学生经历有理有据地进行推理的过程，感受推理的严谨性。此题的推理过程，已初显“形式化证明”的样子，也是为例4的学习进行铺垫。此题中，等式两边同时减去☆，利用的是等式的性质。
而最后一步，实质是利用了等式的传递性（即：若a=b，b=c，则a=c）进行推理，这是一种关系推理。这些性质就是数学证明中最常用的“公理”。
四）简单的几何证明。
例4是一道经典的用演绎推理来进行证明的几何题。
例4实质上是一道初中学习所要接触到的“对顶角相等”的证明题目。但是此处的编排，并非真正意义上教学的“几何证明”，而是仅仅让学生初步感受运用一些“公理”（如等式的性质）进行数学推理的过程。例3为例4的推理提供了知识基础，同时也需要学生综合运用平角的概念、三角形内角和是180°等知识解决问题。
不要求学生学会书写规范严谨的证明过程，但需要学生学会用“说理”的方式证明结论。
知识与技能】
渗透“化难为易”的数学思想方法，能运用一定规律解决较复杂的数学问题。
过程与方法】
通过观察、探索，使同学们掌握数线段的方法。培养同学们归纳推理探索规律的能力。
情感、态度、价值观】
结合学生认知规律，充分发挥信息技术与学科教学整合的功能，激发学生的求知欲望，在具体的**过程中，培养学生的信息素养以及与人交流、沟通，互动、互助的学习品质。
课时1一、创设情境，导入新课。
师：同学们，课前我们来做一个游戏吧，请你们拿出纸和笔在纸上任意点上6个点，并将它们每两点连成一条线，再数一数，看看连成了多少条线段，8个点那？
生：太乱了，我都快数昏了。
师：大家别着急，今天，我们就一起来用数学的思考方法去研究这个问题。
板书课题）二、实践探索，发现规律。
1、从简到繁，动态演示，经历连线过程。
师：同学们，用8个点来连线，我们觉得很困难，如果把点减少一些，是不是会容易一些呢？下面我们就先从2个点开始，逐步增加点数，找找其中的规律。
师：2个点可以连1条线段。为了方便表述我们把这两个点设为点a和点b。
师：如果增加1个点，我们用点c表示，现在有几个点呢？
如果每2个点连1条线段，这样会增加几条线段？那么3个点就连了几条线段？
师：为了便于观察，我们把这次连线情况也记录在**里。
师：如果再增加1个点，用点d表示，现在有几个点？又会增加几条线段呢？那么4个点可以连出几条线段？
师：大家接着想想5个点可以连出多少条线段？为什么？
2、观察对比，发现增加线段与点数的关系。
师：仔细观察这张**，在这张**里有哪些信息呢？
师：那么，看着这些信息你有什么发现吗？
学生尝试回答出：每次增加的线段数和点数相差1。）
师也可以提问引导：当3个点时，增加条数是几？（生：
2条）那点数是4时，增加条数是多少？（生：3条）点数是5时呢？
（4条）6时呢？（5条）那么，你们有什么新发现？
小结：我们可以发现，每次增加的线段数就是（点数－1）。
3、进一步**，推导总线段数的算法。
1）分步指导，逐个列出求总线段数的算式。
师：同学们，我们知道了5个点可以连10条线段，现在你们有什么办法知道6个点可以连多少条线段吗？
师追问：如果当点数再大一些时，我们这样去计算是不是很麻烦呢？
师：我们先来看看，3个点时，可以连多少条线段？你是怎么知道的？
生：2个点连1条线段，增加一个点，就增加了2条线段，1＋2＝3（条），所以3个点就连了3条线。 （板示）
师：接着想想4个点共连了6条线段，这又可以怎么计算呢？
生：计算3个点连出的线段数时，我们用了1＋2，再增加1个点，就在增加了3条线段，我们就再加3，所以列式为1＋2＋3＝6（条）（板示）
师：那么按着这个方法，你能列出6个点8个点共连线段的算式吗？（找同学板示）
2）观察算式，**算理。
师：下面，同学们仔细观察看看这些算式，有什么发现吗？
生：每次增加一个点时，增加的线段数就是总点数减1。
3）归纳小结，应用规律。
师：现在我们知道了总线段数其实就是从1开始前（n－1）个连续自然数的和。
因此，我们只要知道点数是几，就从1开始，依次加到几减1，所得的和就是总线段数。同学们，你们明白了吗？
师：下面我们运用这条规律去计算一下6个点和8个点时共连的线段数，就请同学们打开数学书100页，把算式写在书上相应的横线上！
4、回应课前游戏的设疑，进一步提升。
1）师：现在我们就知道了课前游戏的答案，在纸上任意点上8个点，每两点连成一条线，可以连成28条线段。有这么多条，难怪同学们数时会比较麻烦呢！
看来利用这个规律可以非常方便的帮助我们计算点数较多时的总线段数。
2）反馈。师：根据规律，你能算出12个点、20个点能连几条线段吗？n个点那。
师：12个点共连的线段数为：1＋2＋3＋4＋5一直加到11，为了书写方便，这些列式还可以省略不写中间的一些加数，列式可以写为：
1＋2＋3……＋9＋10＋11＝45（条）（课件示），20个点同理。
n个点线段数＝1＋2＋3……＋n－1）＝
5、提升练习。
师：利用上面的探索经验，完成做一做，学生独立完成，教师给予引导。
1、第7幅图有多少个棋子？第15幅那？
2、第n幅有多少个棋子？
教师提示仔细观察棋子摆的图形边长与棋子个数、总个数之间的关系，找出。
棋子总数＝n2）
三、**导入。
师：仔细读题，想一想，哪两位班长是同班的？（出示例题）
四、探索交流，解决问题
1、让学生谈谈看了条件的看法，是否有办法是条件一目了然。
2、组织进行小组讨论。
3、全班反馈交流。
师：谁愿意来分享下你的方法。
生：我用列表的方式，用数字1表示到会，用数字0表示没到会。然后对条件进行筛选，对号入座，在**中很清晰的看出他们之间的关系。
师：谁来说一说你是怎么分析的？（出示**）
生1：我们小组用a、b、c、d、e、f分别表示三个班的6位班长；每班各有2位班长，每次开会，每班都只有1位班长参加。第一次到会的有a、b、c，说明a不可能和b、c同班。
如从第一次和第三次到会情况看见，a去了两次，这两次其他班到会的班长是b、c和e、f，只有d两次都没到会，说明a和d同班。
师：刚才同学的推理实际上用到“排除法”以a为例。和a同班的可能是b、c、d、e、f，有五种情况，所以只要排除其中四种情况，剩下的一种情况就是答案。
从已知条件可以看出，a、b、e各到会两次，因此a、b、e都可以作为“突破口”。从a或b入手的推理，上面已作介绍，下面再给出从e入手的推理。
从第二次到会的是b、d、e，排除了b、d与e同班的可能，再从第三次到会者是a、e、f，排除a、f与e同班的可能，所以剩下的c与e同班，那么b就和f同班。
4、提升运用。
完成做一做，学生自主练习，核对答案。
五、总结。学生自主总结，主要渗透了化难为易的方法，学会归纳，推理，类比，寻找规律，培养数学逻辑思维。
六、作业布置。
完成练习二十二第题。
课时2一、谈话导入。
师：上节课咱们初步学习了数学思考，学会了怎样将一个复杂的数学问题化难为易，那么这节课咱们就继续**有关于数学思考的问题。
二、出示课件（例题3）
师：仔细审题，看你是否能够解决该问题，能否运用前面学到的知识解决？
生1：一个△等于三个□的和。
生2：可以把△＋□24中的△换成□＋□这样就是四个□的和等于24。
师：非常棒，这位同学说的很好，前面咱们学过等量关系，那么这题就用到了等量之间代换。我们把它叫做等量代换。那么谁来说说你的结果。
生3：四个□的和是24，那么就是4×□＝24，那么□＝6，所以△＝□18。
练习一 ○＋160，◎＋160，○是否＝◎？
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