一、（8分）已知，求。
解： （5分）
因为 ， 故3分）
二、（15分）在中有两组基，基(i)，基(ii)满足：
求 （1）由基(i)到基(ii)的过渡矩阵；
2）向量在基之下的坐标；
3）判断是否存在非零元素在两组基下有相同坐标。
解： （1）由已知关系式求得。
于是，由基（i）到基（ii）的过渡矩阵为。
5分）2）α在基（ii）下的坐标为（2，-1，1，1）t，再由坐标变换公式计算α在基（i）下的坐标为。
c（2，-1，1，1）=（11，23，4，-55分）
3）由，知若存在非零元素在两组基下有相同坐标则，进而有。
不难计算得det（c-e）=0，方程组有非零解，即存在非零α，使得α在基（i）和基（ii）下有相同的坐标。 （5分）
三、（10分）定义在由数域上次数不超过2的多项式构成的线性空间，对任意的，定义。
证明： (1)构成的内积，从而对这个内积构成欧氏空间。
2）把基化为标准正交基。
证：1) 对称性：。 1分）
可加性： 对，有。
（1分）齐次性：对，有。
（1分）非负性：显然有。
且。从而构成内积。（1分） 结论（1分）
2）解：先正交化。
再单位化得k 的一个标准正交基为。
5分）四、（10分）**性空间中定义变换 ，其中a是实矩阵。
1） 证明变换是中的线性变换。
2） 求线性变换在基之下的矩阵。
证明(1) ，
= （2分）
=k （2分）
2) =a+c-c （1分）
==a+ b+b （1分）
==2b+2c+a （1分）
==-2b+2c+a （1分）
故线性变换在基之下的矩阵为：
(2分)五、(12分) 设是给定的n维非零列向量，是中矩阵的f-范数，定义实值函数，其中x 为任意n维的实向量。
证明：（1）是上的向量范数。
2）向量范数与矩阵的f-范数相容。
证：(1) (a)当时，；当时， ;从而。 （3分）
b) =3分）
c) ，3分）
因此 ,是向量范数。
2)因为 因此 ,与相容。 （3分）
六、(15分)已知，
求非齐次微分方程组的解：
解： 设， ,由c-h定理知。
a3=a2，a4=a2，a5=a2，……从而有。
故 七、（15分）假定。
1) 求矩阵的满秩分解；
2) 求；
3) 判断方程组是否相容？若相容，求其最小范数解；若不相容，求其极小最小二乘解。
解：(1)的满秩分解为。
3) 由于=，所以不相容，它的极小最小二乘解为。
八、（6分）设，求。
解：（2分）
2分）（2分）
九、（9分）令，试用圆盘定理估计矩阵的特征值分布范围，适当选择一组正数对a的特征值作更精确的估计（要求a的三个圆盘互不相交）。
解：（1） 由矩阵盖尔圆的定义，易求得三个盖尔圆分别为：
（3分）（2）d=diag（1,1,1/10） 选。（3分）3分）
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